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高中数学有关函数学习的易错问题研究

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庄涛涛

摘要：函数是高中数学课程的主线之一，是贯穿了高中数学的重中之重，它与高中数学的其他主线息息相关，密不可分。由于函数具有高度抽象性，对于刚入高一的学生而言，在学习的过程中，不可避免的出现错误。

关键词：高中数学，易错问题；函数

G633.6

为了帮助学生尽快适应高中数学，本文分析了高中函数学习过程中学生易犯的错误，这些错误很可能是大多数学生在学习过程中都会经历的，同时也是老师在教学中容易忽略的。

张奠宙先生在他的《数学教育的中国道路》一文中，论述学科知识（SK）和教学知识（PK）的关系时写道：“中国数学教育历来关注教材教法的整体研究。”[1]这和西方L.Schulman教授提出的‘教学内容知识（PCK）理论是一致的。因此，认识数学易错问题对数学学习重要性，对高中生数学易错问题进行分类，对学生容易出错的问题进行总结，从而减少高中生做错题是有重大意义的。

一、合理分类，正确归因

对学习过程中出现的错误分类研究国内外已有不少。戴再平、罗增儒主要从认知的角度把学生的解题错误分为四类：①知识性错误；②逻辑性错误；③策略性错误；④心理性错误。[2]这种分类比较全面，也为一般的研究者所广泛使用。由于产生错误的原因的复杂性和错误的表现形式的多样性，因此按不同的标准，可以对错误作出不同的分类”。按个体发生解题错误的频发程度，可以把解题错误分为一贯性错误和偶然性错误；按群体发生解题错误的范围大小，可以分为普遍性错误与个别性错误。[3]按照错误性质的不同，可以分为合理性错误与非合理性错误两种类型。[4]从错误的形成原因来看，可分为主观性错误与非主观性错误。[4]

本文选取戴再平、罗增儒关于数学解题错误的分类框架。戴再平、罗增儒主要从学生认知的角度把学生的数学解题错误分为以下四类：

1.知识性错误：

这里主要指解题者由于数学知识上的缺陷与不足所造成的各种错误。如不能正确理解题意（包括误解题意）、概念（性质）混淆、忽视公式、定理成立的条件（比如，公式法则的误用，以及定理的错用），等等。

2.逻辑性错误：

违反基本逻辑规则所产生的推理与论证错误。常见的逻辑性错误的主要表现有：虚假论据、偷换概念、不能推出、循环论证、分类不当、不等价变换。同时，逻辑性错误也常常表现为四种命题混淆、充要条件的错乱、反正法反设不真，等等。

3.策略性错误：

由于解题方向上的偏差，造成思路受阻或解题长度过大”。有些解题方法或解题思路虽没有数学错误，但解题过程过于曲折隐晦，或存在思维回路等，导致整个解题过程费时费力，且易于出错。

4.心理性错误

这里指解题者虽然具备了解决问题的必要数学知识与基本技能，但由于某些心理原因而產生的各种解题错误。

二、举例论证，提出建议

在确定分类框架后，笔者查阅了近年来各地数学的高考题、模拟题、调研考试题，并针对每一类错误，选取了代表性的例题进行分析说明。

1.知识性错误：

（2013山东济南高一年级调研考试）

已知定义域为求下列函数定义域：

①②③

①错解：

∵定义域为，∴，∴，∴定义域是

②错解：

定义域是，∴。∴

分析：

1.未能充分理解函数概念的本质，对函数理解仅仅停留在表面。

函数的定义域是自变量的取值范围，也就是指能使函数式有意义的的所有实数的构成的集合。

2.缺乏对符号“”的深入理解。

是“是的函数”的数学表示，应理解为：是自变量，也就是对应法则所操作、施加变换的量。

解决方法：

1.解析概念，强调核心要素

函数的三要素是定义域、对应法则、值域。教师需要强调：函数的定义域指的是“自变量”（，或等等，与符号无关）可取的范围的集合，而不是对应法则所作用的括号内的整体的取值范围。

2.多举实例，逐步建构概念

由于函数概念具有高度抽象性，因此可以多举具体实例，让学生在实例中体会求解有关函数的问题。

2.逻辑性错误

（2013江西吉安模拟题）

已知函数

①若的值域为R，求实数的取值范围；

②若的定义域为R，求实数的取值范围；

①错解：∵值域为R，由对数函数图像性质可知，若要满足值域为，则真数部分，恒成立，

∴

解得的范围是

②错解：的定义域为意味着对于任意的，都是有意义的，即对于任意的，的值恒为正，∴

解得的取值范围是

分析：

第一问的错误之处是：的值域为R推出真数部分恒成立进而得到属于逻辑错误。事实上，当的值域为R，真数部分必须遍历的每一个实数，仅仅要求是不够的。第二问的错误解在于，没有经过讨论就想当然的认为是一个二次函数，忽略了对时的讨论，属于逻辑不严密。

解决方法：

1、强调推理论证的严密性。强调当函数中含有未知参数时，谨记对函数类型的讨论

2、让学生理解“当，作为真数部分的‘的值域