第4章　4.2.1　对数的概念.docx

4.2.1对数的概念

［学习目标］1.了解对数、常用对数、自然对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值.

一、指数式与对数式的互化

知识梳理

1.一般地，如果ab=N（a0，a≠1），那么就称b是以a为底N的对数，记作，其中，a叫作对数的，N叫作.如图所示：?

2.两类特殊对数

（1）通常将以10为底的对数称为常用对数，对数log10N简记为lgN.

（2）以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数，正数N的自然对数logeN一般简记为lnN.

例1将下列对数式化为指数式或将指数式转化为对数式：

（1）33=27；（2）log12

（3）5a=16；（4）log5a=20.

反思感悟指数式与对数式互化的思路

（1）指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式.

（2）对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.

跟踪训练1将下列对数式化为指数式或将指数式转化为对数式：

（1）3-2=19；（2）15

（3）log13

（4）logx64=-6（x0，且x≠1）

二、对数的计算

例2（1）求下列各式的值.

①log981=；?

②log0.41=；?

③lne2=.?

（2）求下列各式中x的值.

①log27x=-23；②logx16=-4

反思感悟求对数式logaN（a0，且a≠1，N0）的值的步骤

（1）设logaN=m.

（2）将logaN=m写成指数式am=N.

（3）将N写成以a为底的指数幂N=ab，则m=b，即logaN=b.

跟踪训练2求下列各式的值：

（1）log28；（2）log919；（3）lne；（4）lg1

三、利用对数的性质求值

知识梳理

对数的性质

（1）loga1=0（a0，a≠1）.

（2）logaa=1（a0，a≠1）.

（3）零和负数没有对数.

（4）对数恒等式：aloga

logaax=x（a0，a≠1，N0）.

例3求下列各式中x的值：

（1）log2（log5x）=0；

（2）log3（lgx）=1；

（3）x=71-lo

反思感悟利用对数的性质求值的方法

（1）求解此类问题时，应根据对数的两个结论loga1=0和logaa=1（a0且a≠1），进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算.

（2）已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解.

跟踪训练3求下列各式中x的值.

（1）log8［log7（log2x）］=0；

（2）log2［log3（log2x）］=1.

1.知识清单：

（1）对数的概念.

（2）自然对数、常用对数.

（3）指数式与对数式的互化.

（4）对数的性质.

2.方法归纳：转化思想、方程思想.

3.常见误区：易忽视对数式中底数与真数的范围.

1.（多选）下列说法正确的有（）

A.只有正数有对数

B.任何一个指数式都可以化成对数式

C.以5为底25的对数等于2

D.3log3

2.2-3=18化为对数式为（）

A.log182=-3 B.log18

C.log218=-3 D.log2（-3）=

3.已知log8x=23，则x=.

4.计算：3log22+2log31-3log77+3ln1=.?

答案精析

知识梳理

1.logaN=b底数真数

例1解(1)∵33=27,∴log327=3.

(2)∵log128=-3,∴1

(3)∵5a=16,∴log516=a.

(4)∵log5a=20,∴520=a.

跟踪训练1解(1)log319=-2

(2)log15

(3)13-3

(4)(x)-6=64(x0,且x≠1).

例2(1)①2②0③2

解析①设log981=x,所以9x=81=92,

故x=2,即log981=2.

②设log0.41=x,所以0.4x=1=0.40,

故x=0,即log0.41=0.

③设lne2=x,

所以ex=e2,故x=2,即lne2=2.

(2)解①由log27x=-23

得x=27-23=33×-

②由logx16=-4,得x-4=16,

即x4=116=±

又x0,且x≠1,∴x=12

跟踪训练2解(1)设log28=x,

则2x=8=23.

∴x=3.∴log28=3.

(2)设log919=x,则9x=19=9

∴x=-1.∴log919=-1

(3)设lne=x,则ex=e,

∴x=1,∴lne=1.

(4)设lg1=x,则10x=1=100,

∴x=0,∴lg1=0.

例3解(1)∵log2(log5x)=0,

∴log5x=2