第6章　章末复习课.docx

一、幂函数

幂函数的图象及应用是考查重点,主要应用有两方面:一是识图或用图,二是单调性的应用,渗透直观想象与逻辑推理的核心素养.

例1(1)若函数y=xm2-2m-3(m∈Z)的图象如图所示,则

答案1

解析由图象可知,m2-2m-3为负偶数,

且m∈Z,所以m=1.

(2)实数1.712,0.7-12,0.

答案0.7120.7-

解析∵y=x12

而0.7-12=10712,0

∴0.7120.7-1

反思感悟幂函数y=xα的图象与性质由于α的值不同而比较复杂,一般从两个方面考查

(1)α的正负:当α0时,图象过原点和(1,1),在第一象限的图象上升;当α0时,图象不过原点,在第一象限的图象下降,反之也成立.

(2)比较大小的基本题型,关键在于构造适当的函数,若指数相同而底数不同,则考虑幂函数;若指数不同底数相同,则考虑指数函数;若底数不同,指数也不同,则需引入中间量.可以利用幂函数与指数函数的单调性,也可以借助幂函数与指数函数的图象进行判断.

跟踪训练1已知函数f(x)=x1-a3在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,则最小的正整数a=

答案3

解析∵f(x)在(0,+∞)上是单调递减,

∴1-a30,∴a

又∵f(x)在(-∞,0)上单调递增,且在(0,+∞)上单调递减,∴f(x)为偶函数,∴1-a为负偶数,

∴a为奇数,∴最小的正整数a=3.

二、指数函数、对数函数的图象及其应用

1.指数函数、对数函数的图象及应用有两个方面:一是已知函数解析式求作函数图象,即“知式求图”;二是判断方程的根的个数时,通常不具体解方程,而是转化为判断指数函数、对数函数等图象的交点个数问题.

2.掌握指数函数、对数函数图象的作法以及简单的图象平移翻折变换,提升直观想象和逻辑推理素养.

例2(1)已知a0且a≠1,则函数f(x)=ax和g(x)=loga-1x的图象只可能是(

答案C

解析函数g(x)的定义域是(-∞,0),排除A,B,

若0a1,则f(x)=ax是减函数,

此时g(x)=loga-1x是减函数,C,D都不满足;若a1,则f(x)=ax

此时g(x)=loga-1x是增函数,C

(2)已知函数f(x)=2x-1,x≤1,|ln(x-1)|,x1,若方程f(x)-

A.[0,1] B.(0,1)

C.(0,1] D.[1,+∞)

答案C

解析方程f(x)-k=0有3个根,即函数f(x)的图象与直线y=k有3个不同的交点.作出函数f(x)的图象,如图所示.根据图象可得,当0k≤1时,函数f(x)的图象与直线y=k有3个不同的交点,所以实数k的取值范围是(0,1].

反思感悟指数函数、对数函数图象既是直接考查的对象,又是数形结合求交点、最值、解不等式的工具,所以要能熟练画出这两类函数图象,并会进行平移、对称、翻折等变换.

跟踪训练2(1)若函数f(x)=loga(x+b)(a0且a≠1,b∈R)的大致图象如图,则函数g(x)=a-x-b的大致图象是()

答案C

解析由题意,根据函数f(x)=loga(x+b)的图象,可得0a1,0b1,

则g(x)=a-x-b在R上单调递增,又g(0)=1-b∈(0,1),只有选项C符合.

(2)已知函数f(x)=lnx,x0,ex,x≤0,若关于x的方程m-f(x

A.(0,+∞) B.(-∞,0]∪(1,+∞)

C.(-∞,0] D.(0,1]

答案D

解析作出f(x)的图象如图所示,要使关于x的方程m-f(x)=0有两个不同的实数根,即f(x)的图象与直线y=m有两个交点,所以0m≤1.

三、指数函数、对数函数的性质及其应用

1.以函数的性质为依托,结合运算考查函数的图象性质,以及利用性质进行大小比较、方程和不等式求解,解决与指数、对数函数有关的复合函数等问题.

2.掌握指数函数、对数函数的图象及性质,重点提升数学运算和逻辑推理素养.

例3(1)设a=log2π,b=log12π,c=π-2,则(

A.abc B.bac

C.acb D.cba

答案C

解析∵a=log2πlog22=1,

b=log12πlo

c=π-2=1π2,即0c1,∴ac

(2)已知函数f(x)=log21x+a+1(a∈

①求a的值;

②对任意的x∈(-∞,0),不等式f(2x+1)log2(m-2x)恒成立,求实数m的取值范围.

解①方法一令1x+a+10,则

∴x-a-1或x-a.

∵f(x)是奇函数,

∴其定义域关于原点对称,∴-a-1-a=0,

∴a=-12

验证当a=-12时,f(x)=log2x

则f(-x)=log2-x+12-x-1

∴f(x)是奇函数,综上,a=-12

方法二f(x