苏教版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件 第七章 计数原理 7.4.2 二项式系数的性质及应用.ppt

7.4.2二项式系数的性质及应用第七章

内容索引0102基础落实?必备知识全过关重难探究?能力素养全提升03学以致用?随堂检测全达标

课标要求1.能掌握二项式系数的性质,并能灵活运用性质解决相关问题;2.会用赋值法求二项展开式系数的和,注意区分项的系数和二项式系数.

基础落实?必备知识全过关

知识点1二项式系数表及其数字规律二项式系数表

此表的规律如下:(1)每一行中的二项式系数都是“”的.?(2)每行两端都是1,而且除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的.?(3)每行的二项式系数从两端向中间逐渐增大.每行均有一个或两个最大值(4)第1行为1=20,第2行的两数之和为2,第3行的三数之和为22……第7行的各数之和为26.对称和

名师点睛二项式系数与二项展开式中某一项的系数是不同的概念,特别地,(a+b)n(a0,b0)的展开式中,各项的系数即对应的各二项式系数;(a-b)n(a0,b0)的展开式中,各项的系数的绝对值即对应的二项式系数.

过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)(a+b)4的展开式中共有4个二项式系数.()(2)二项式系数表中每行都只有一个最大值.()(3)(a-b)n的展开式中,各项的系数即对应的二项式系数.()×××

2.(a+b)n(n=1,2,3,4,5,6)的二项式系数可以写成如下形式,则第7行的数字分别是多少?答案1,7,21,35,35,21,7,1.

知识点2二项式系数的对称性、增减性、最值含有n个元素集合的子集个数也是2n

过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)二项式展开式的二项式系数和为(2)二项展开式中系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项).()(3)(3x+2)5的展开式的二项式系数和为25=32.()2.二项式系数取得最大值的项的系数一定是系数中最大的吗?××√提示不一定.如果项的系数中还有其他的常数,则该项的系数不一定最大.

重难探究?能力素养全提升

探究点一“杨辉三角”问题【例1】在如图所示的三角形数阵中,从第3行开始,每一行除1以外,其他每一个数字都是其上一行的左、右两个数字之和.若在此数阵中存在某一行,满足该行中有三个相邻的数字之比为4∶5∶6,则这一行是第行(填行数).?第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051第6行1615201561……答案98

规律方法“杨辉三角”问题解决的一般方法:

变式训练1以下排列的数是二项式系数在三角形中的几何排列,在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书里就出现了.在欧洲,这个表称为帕斯卡三角形.试问第9行第8个数是.?

答案36

探究点二求二项展开式中系数或二项式系数最大的项【例2】已知(1+2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.

规律方法求二项展开式中系数的最值的方法:(1)若二项展开式的系数的绝对值与对应二项式系数相等,可转化为确定二项式系数的最值来解决.

变式训练2设(1-3x)2021=a0+a1x+a2x2+…+a2021x2021.(1)求a0的值;(2)展开式中系数绝对值最大的项为第几项?

探究点三二项式系数和问题【例3】已知(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5.求下列各式的值:(1)a0+a1+a2+…+a5;(2)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|;(3)a1+a3+a5.

解(1)令x=1,得a0+a1+a2+…+a5=1.(2)令x=-1,得-35=-a0+a1-a2+a3-a4+a5.由(2x-1)5的通项Tk+1=(-1)k·25-k·x5-k,知a1,a3,a5为负值,所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|=a0-a1+a2-a3+a4-a5=35=243.(3)由a0+a1+a2+…+a5=1,-a0+a1-a2+…+a5=-35,得2(a1+a3+a5)=1-35.

规律方法二项展开式中系数和的求法:(1)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对(ax+by)n(a,b∈R,n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和,只需令x=y=1即可.(2