高等数学（本科）教学大纲.doc

《高等数学》（本科）教学大纲

课程基本信息

课程中文名称：高等数学

课程编号课程类型：公共基础课

总学时数：162理论课学时：162实验学时：0上机学时：0课外学时：0

学分：9

适用专业、年级：学院理、工科类本科各专业，一年级

开课系部：公共学部

考核形式：闭卷

课程的性质与任务

高等数学课程是高等工科院校各专业学生的一门必修的重要基础理论课。通过本门课程的教学，使学生获得微积分，空间解析几何，常微分方程的基本知识，基本理论和基本运算技能，从而为学习后续课程以及进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。

课程教学基本要求

本课程将讲授高等数学的主要内容，通过该课程的学习，使学生掌握微积分的基本理论及其利用微积分解决一些实际应用问题的方法,具有一定的数学抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力。

四、理论教学内容和基本要求

基本内容

一元函数、极限与连续性（16学时）

理解函数的概念。

了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

理解复合函数的概念，了解反函数的概念。

了解基本初等函数的性质及其图形，会建立简单实际问题的函数关系式。

了解极限的概念(对极限语言不作过要求)

掌握极限的四则运算法则。

了解两个极限存在准则(夹逼准则和有界准则)。

掌握两个重要极限求极限的方法。

了解无穷小、无穷大和无穷小阶概念，会用等价无穷小求极限。

理解函数在一点连续的概念。

了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。

了解初等函数的连续性以及闭区间上连续函数的几个性质(介值定理和最大值与最小值定理)。

2.导数与微分（12学时）

理解导数和微分的概念，了解导数的几何意义以及函数的可导性与连续性之间的相互关系。

掌握导数的四则运算法则和复合函数求导法。

掌握基本初等函数的导数公式。

了解微分的四则运算法则和一阶微分的形式的不变性。

掌握高阶导数的概念以及函数一阶,二阶导数的求法。

掌握隐函数和参数方程所确定的函数的导数，会求反函数的导数。

3.中值定理与导数应用（12学时）

理解罗尔定理和拉格朗日定理。

了解柯西定理和泰勒中值定理。

理解函数的极值的概念，并掌握用导数判别函数的单调性与求极值的方法。

了解函数图形的凹性，会求拐点，描绘函数图形(包括水平渐近线与铅直渐近线)。

会求简单的最大值和最小值应用问题。

掌握用罗必达法则求不定式的极限。

了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲线的曲率和曲率半径。

4.不定积分（12学时）

理解不定积分的概念及性质。

掌握不定积分的基本公式，换元积分法和分部积分法。

了解简单的有理函数和可化为有理函数的无理函数的积分。

5.定积分（20学时）

理解定积分的概念及性质。

理解变上限积分作为上限的函数及其求导定理。

掌握牛顿—莱布尼兹公式、定积分的换元法和分部积分法。

了解广义积分的概念，并计算一些简单函数的广义积分。

6.常微分方程（16学时）

了解微分方程、解、通解、初始条件和特解等概念。

掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法。

了解齐次方程和贝努力方程并从中领会用变量代换求解方程的思想，了解全微分方程。

了解降阶法解三种可降阶的方程。

掌握二阶线性微分方程解的结构。

掌握二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法。

了解二阶常系数齐次线性微分方程。

7.空间解析几何与向量代数（14学时）

理解空间直角坐标系，向量的概念及其表示法。

掌握向量运算(线性运算、数量积、向量积)。

了解向量垂直、平行的条件。

掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表示式，并能运用坐标表达式进行向量运算。

掌握平面的方程和直线的方程及其求法，会利用平面，直线的相互关系解决有关的问题。

了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

了解空间曲线的参数方程和一般方程。

了解曲面的交线在坐标平面上的投影。

8.多元函数微分学及其应用（18学时）

理解多元函数的概念。

了解二元函数极限与连续性概念，有界闭域上连续函数的性质。

理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件。

掌握曲线的切线与法平面及曲面的切平面与法线。

了解方向导数与梯度的概念及计算方法。

掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数二阶偏导数。

会求隐函数(由两个方程组成的方程组所确定的隐函数不做要求)的偏导数。

理解多元函数极值的概念，会求二元函数的极值。

了解条件极值及拉格朗日乘数法，会求一些简单的最大值和最小值的应用问题。

9.重积分及其应用（16学时）

理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质

掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)。

了解三重积分的计算方法（直角坐标、柱面坐标）。

会用重积分求一些几何量与物理量(如体积、曲面面积、质量、重心、转动惯量、引力、功等)。