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2025年湖南省永州一中高三下学期质量检查数学试题试卷
请考生注意:
1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上,请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2.答题前,认真阅读答题纸上的《注意事项》,按规定答题。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知抛物线上一点的纵坐标为4,则点到抛物线焦点的距离为()
A.2 B.3 C.4 D.5
2.等腰直角三角形的斜边AB为正四面体侧棱,直角边AE绕斜边AB旋转,则在旋转的过程中,有下列说法:
(1)四面体EBCD的体积有最大值和最小值;
(2)存在某个位置,使得;
(3)设二面角的平面角为,则;
(4)AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P,则点P的轨迹为椭圆.
其中,正确说法的个数是()
A.1 B.2 C.3 D.4
3.抛物线C:y2=2px的焦点F是双曲线C2:x2m-y21-m=1
A.2+1 B.22+3 C.
4.在复平面内,复数(,)对应向量(O为坐标原点),设,以射线Ox为始边,OZ为终边旋转的角为,则,法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理:,,则,由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式:,已知,则()
A. B.4 C. D.16
5.已知函数,若,使得,则实数的取值范围是()
A. B.
C. D.
6.各项都是正数的等比数列的公比,且成等差数列,则的值为()
A. B.
C. D.或
7.阿基米德(公元前287年—公元前212年),伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家,他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形,为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的,且球的表面积也是圆柱表面积的”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形,其表面积为,则该圆柱的内切球体积为()
A. B. C. D.
8.数列{an}是等差数列,a1=1,公差d∈[1,2],且a4+λa10+a16=15,则实数λ的最大值为()
A. B. C. D.
9.若双曲线的焦距为,则的一个焦点到一条渐近线的距离为()
A. B. C. D.
10.已知非零向量,满足,,则与的夹角为()
A. B. C. D.
11.已知定义在上的奇函数和偶函数满足(且),若,则函数的单调递增区间为()
A. B. C. D.
12.若复数(为虚数单位)的实部与虚部相等,则的值为()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知,满足约束条件,则的最小值为__________.
14.已知点是双曲线渐近线上的一点,则双曲线的离心率为_______
15.在直角坐标系中,已知点和点,若点在的平分线上,且,则向量的坐标为___________.
16.已知,,是平面向量,是单位向量.若,,且,则的取值范围是________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)试求曲线y=sinx在矩阵MN变换下的函数解析式,其中M,N.
18.(12分)已知为坐标原点,单位圆与角终边的交点为,过作平行于轴的直线,设与终边所在直线的交点为,.
(1)求函数的最小正周期;
(2)求函数在区间上的值域.
19.(12分)已知函数.
(1)若,求的取值范围;
(2)若,对,不等式恒成立,求的取值范围.
20.(12分)已知函数,其中.
(Ⅰ)若,求函数的单调区间;
(Ⅱ)设.若在上恒成立,求实数的最大值.
21.(12分)已知椭圆的离心率为是椭圆的一个焦点,点,直线的斜率为1.
(1)求椭圆的方程;
(1)若过点的直线与椭圆交于两点,线段的中点为,是否存在直线使得?若存在,求出的方程;若不存在,请说明理由.
22.(10分)已知,函数,(是自然对数的底数).
(Ⅰ)讨论函数极值点的个数;
(Ⅱ)若,且命题“,”是假命题,求实数的取值范围.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.D
【解析】
试题分析:抛物线焦点在轴上,开口向上,所以焦点坐标为,准线方程为,因为点A的纵坐标为4,所以点A到抛物线准线的距离为,因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离,所以点A与抛物线焦点的距离为5.
考点:本小题主要考查应用抛物线定义和抛物线上点的性质抛物线上的点到焦点的距离,考查学生的运算求解能力.
点评:抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离,这条性质在解题时经常用到,可以简化运算.
2.C
【解析】
解:对于(1),当CD⊥平面ABE,且E在AB的右上方时,
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