第7章　7.2.2　同角三角函数关系.docx

7.2.2同角三角函数关系

［学习目标］1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用.2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明.

一、利用同角三角函数的关系求值

问题1观察下表，你能发现什么？

α

0

π

π

π

π

sinα

0

1

2

3

1

cosα

1

3

2

1

0

tanα

0

3

1

3

不存在

问题2若P(x，y)是角α的终边与单位圆的交点，则角α的三个三角函数值之间有什么联系？

知识梳理

同角三角函数的基本关系

关系式

文字表述

平方

关系

sin2α+cos2α=?

同一个角α的正弦、余弦的等于?

商数

关系

=?sinα

?

同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的?

例1(1)已知α∈π，3π2，tanα=2，则cosα

(2)已知tanα=3，则sin2α

反思感悟(1)已知sinθ(或cosθ)求tanθ常用以下方式求解

(2)若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解.

(3)已知tanα=m，可以求asinα+bcosαcsinα+dcosα或asi

(4)对于asin2α+bsinαcosα+ccos2α的求值，可看成分母是1，利用1=sin2α+cos2α进行代替后分子分母同时除以cos2α，得到关于tanα的式子，从而可以求值.

跟踪训练1(1)已知sinα+3cosα=0，求sinα，cosα的值.

(2)已知tanα=43，求sinα

二、sinθ±cosθ型求值

例2已知sinθ+cosθ=15，θ∈(0，π)，求sinθ-cos

反思感悟sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系

(1)(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ；

(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ；

(sinθ+cosθ)2+(sinθ-cosθ)2=2；

(sinθ-cosθ)2=(sinθ+cosθ)2-4sinθcosθ，

利用该公式，已知其中一个，能求另外二个，即“知一求二”.

(2)求sinθ+cosθ或sinθ-cosθ的值，要注意判断它们的符号.

跟踪训练2若sinθ-cosθ=2，则tanθ+1tanθ=

三、利用同角三角函数的基本关系化简和证明

问题3你能发现同角三角函数的哪些变形形式？

例3(1)化简：sinα1-cosα

(2)证明：tanαsinα

反思感悟(1)利用同角三角函数基本关系化简的常用方法

①化切为弦，减少函数名称.

②对含根号的，应先把被开方式化为完全平方式，再去掉根号.

③对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以降幂化简.

(2)证明三角恒等式常用的方法

①从左向右推导或从右向左推导.

②左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子.

③化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异.

④变更命题法，如证明ab=cd，可证ad=bc或证db

⑤比较法，即证明“左边-右边=0”或“左边右边=1”

跟踪训练3(1)化简：2cos2α-11-2sin2α+(

(2)若3π2α2π，求证：1-cosα1+cosα+

1.知识清单：

(1)同角三角函数的基本关系式.

(2)sinθ±cosθ型求值.

(3)利用同角三角函数的基本关系式进行化简和证明.

2.方法归纳：由部分到整体、整体代换法.

3.常见误区：忽视对θ所在的象限进行分类讨论.

1.若sinα=55，则sin2α-cos2α的值为()

A.-15 B.-35 C.1

2.若tanθ=2，则2sin2θ-3sinθcosθ等于()

A.10 B.±25 C.2 D.

3.已知sinα-cosα=-54，则sinαcosα等于()

A.74 B.-916 C.-9

4.若2sinα+cosα=0，则sinα1+sinα-sin

答案精析

问题1对于表格中的几个角,同一个角的正弦与余弦的比值等于正切(cosα≠0),正弦与余弦的平方和等于1.

问题2若余弦不为0,则正切等于正弦比余弦;因为点P在单位圆上,则由勾股定理得x2+y2=1.

知识梳理

1平方和1tanα

α≠

例1(1)-5

解析由已知得sin

由①得sinα=2cosα,

代入②得4cos2α+cos2α=1,

所以cos2α=15

又α∈π,3π2,所以cos

所以cosα=-55

(2)-2

解析原式=tan2α-2tanα

跟踪训练1(1)解∵sinα+3cosα=0,∴sin