第2章　§2.2　充分条件、必要条件、充要条件.docx

［学习目标］1.理解充分条件、必要条件的概念.2.了解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系.3.理解充要条件的意义，会判断一些简单的充要条件问题.

一、充分条件与必要条件

问题1如何理解“绳锯木断”“水滴石穿”？“木断”是否一定是因为“绳锯”？“石穿”是否一定是因为“水滴”？

知识梳理

充分条件与必要条件

“若p，则q”为真命题

“若p，则q”为假命题

推出

关系

pq（读作p推出q）?

pq（读作p?

不能推出q）

条件

关系

p是q的条件?

q是p的条件?

p不是q的条件?

q不是p的条件?

例1下列所给的各组p，q中，p是q的充分条件的有哪些？

（1）p：a∈Q，q：a∈R；

（2）已知x，y∈R，p：x=1，q：（x-1）（x-2）=0；

（3）已知x∈R，p：x2，q：x4.

反思感悟充分条件或必要条件的判断方法

（1）若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.

（2）若p对应的集合为A，q对应的集合为B，A?B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.

跟踪训练1（1）“x3”是“x29”的条件.?

（2）下列所给的各组p，q中，q是p的必要条件的有哪些？

①在△ABC中，p：∠B与∠C互余，q：△ABC为直角三角形；

②p：|x|2，q：x2.

二、充要条件

问题2下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题是真命题？如果条件和结论互换，这些命题的真假又是怎样的呢？

（1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；

（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；

（3）若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根，则ac0；

（4）若A∪B是空集，则A与B均是空集.

知识梳理

1.一般地，如果，且，那么称p是q的充分且必要条件，简称为p是q的充要条件，也称q的充要条件是p.?

2.如果p是q的充要条件，就记作，称为“p与q等价”，或“p等价于q”.?

例2下列所给的各组p，q中，p是q的什么条件（“充分且不必要条件”“必要且不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”）.

（1）p：x=1，q：x-1=x-1

（2）p：-1≤x≤5，q：x≥-1且x≤5；

（3）p：x+2≠y，q：（x+2）2≠y2；

（4）p：a是自然数；q：a是正数.

反思感悟判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法

（1）定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假.

（2）集合法：即利用集合的包含关系判断.

（3）传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1?p2?…?pn，可得p1?pn；充要条件也有传递性.

跟踪训练2下列所给的各组p，q中，p是q的什么条件（“充分且不必要条件”“必要且不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”）.

（1）p：x20，q：x0；

（2）p：a能被6整除，q：a能被3整除；

（3）p：两个角不都是直角，q：两个角不相等；

（4）p：A∩B=A，q：?UB??UA.

三、根据充要条件求参数范围

例3已知p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1+m（m0），若p是q的必要且不充分条件，求实数m的取值范围.

反思感悟应用充分且不必要、必要且不充分及充要条件求参数值（范围）的一般步骤

（1）根据已知将充分且不必要条件、必要且不充分条件或充要条件转化为集合间的关系.

（2）根据集合间的关系构建关于参数的方程（组）或不等式（组）求解.

跟踪训练3已知当a0时，设p：3axa，q：x-4或x≥-2.若p是q的充分且不必要条件，求实数a的取值范围.

四、判定定理、性质定理与充分、必要条件

知识梳理

判定定理给出了相应数学结论成立的条件，性质定理给出了相应数学结论成立的条件.?

例4指出下面的定理是判定定理还是性质定理，并用充分、必要条件的语言来表述.

（1）对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；

（2）正方形的对角线互相垂直且相等.

反思感悟（1）区分一个定理是判定定理还是性质定理关键是看定理阐述了结论成立的依据还是揭示了一个研究对象的某个特征，若定理阐述了结论成立的依据，则是判定定理，否则是性质定理.

（2）判定定理可用充分条件的语言来表述，性质定理可用必要条件的语言来表述.

跟踪训练4指出下面的定理是判定定理还是性质定理，并用充分、必要条件的语言来表述.

（1）有一个角是直角的菱形是正方形；

（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.

1.知识清单：

（1）充分条件、必要条件的概念.

（2）充要条件的概念及应用.

（3）充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系.

2.方法归纳：