第3章　3.3.1　从函数观点看一元二次方程.docx

3.3.1从函数观点看一元二次方程

［学习目标］1.正确理解二次函数零点的概念.2.理解一元二次方程与二次函数的关系.3.掌握图象法解一元二次方程.

一、二次函数的零点

问题观察下列三组方程与函数：

方程

函数

x2-2x-3=0

y=x2-2x-3

x2-2x+1=0

y=x2-2x+1

x2-2x+3=0

y=x2-2x+3

利用函数图象探究方程的根与函数图象和x轴的交点之间的关系.

知识梳理

1.一般地，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的就是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的，也称为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的.?

2.一元二次方程的根与二次函数的图象、零点间的关系

Δ=b2-4ac

Δ0

Δ=0

Δ0

一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根

有两个相异的实数根x1，2=-

有两个相等的实数根x1=x2=-b

没有实

数根

二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象

二次函数y=ax2+bx+c（a0）的零点

有两个零点x1，2=

-

有一个零

点x=-b

无零点

例1求下列函数的零点：

（1）y=3x2-x-4；

（2）y=-4x2+4x-1.

反思感悟求解二次函数的零点，即转化为求二次函数所对应一元二次方程的根，且重根算一个零点.

跟踪训练1若x1，x2是函数y=2x2-4x+1的两个零点，则x1x2+x

A.6 B.4

C.3 D.3

二、由二次函数的零点求参数的值

例2若二次函数y=x2+ax+b的两个零点分别是2和3，则2a+b的值为.?

延伸探究若函数y=x2+mx+4m2-3的两个零点分别为x1，x2，且满足x1+x2=x1x2，则m的值为.?

反思感悟由二次函数的零点求参数的值主要是转化为一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是正确地运用判别式及根与系数的关系.

跟踪训练2若二次函数y=x2+（p-2）x-21的图象与x轴的交点为A（α，0），B（β，0），与y轴的交点为C.

（1）若α2+β2=51，求p的值；

（2）若△ABC的面积为105，求p的值.

三、由二次函数的零点求参数的范围

例3函数y=x2-5x+1-m的两个零点均大于2，则实数m的取值范围是（）

A.-214，+∞ B.

C.-214，

反思感悟由二次函数的零点分布求参数范围的问题，一般要结合对应一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系，列出不等式组进行求解；或者结合二次函数图象，得出开口方向、对称轴、判别式以及端点函数值符号（此端点指的是与方程的根比较大小的数），列出不等式组进行求解.函数有两个零点说明函数图象与x轴有两个交点.

跟踪训练3已知方程ax2+2x+1=0至少有一个负根，则实数a的取值范围是（）

A.（0，1］ B.（-∞，1）

C.（-∞，1］ D.（-∞，0）∪（0，1］

1.知识清单：

（1）二次函数的零点.

（2）由二次函数的零点求参数的值.

（3）由二次函数的零点求参数的范围.

2.方法归纳：参数分离的方法、转化思想.

3.常见误区：二次函数的零点是一个实数，误认为是点的坐标导致出错.

1.函数y=2x2-3x+1的零点是（）

A.-12，-1 B.-12

C.12，-1 D.12

2.若函数y=x2+2x+a没有零点，则实数a的取值范围是（）

A.（-∞，1） B.（1，+∞）

C.（-∞，1］ D.［1，+∞）

3.二次函数y=2x2+bx-3（b∈R）的零点个数是（）

A.0 B.1

C.2 D.不确定

4.已知函数y=x2-ax-3a的一个零点是-2，则它的另一个零点是.?

答案精析

问题方程x2-2x-3=0的根为-1,3,函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于点(-1,0),(3,0);

x2-2x+1=0有两个相等的实数根,为1,函数y=x2-2x+1的图象与x轴有唯一交点(1,0);

x2-2x+3=0没有实根,函数y=x2-2x+3的图象与x轴无交点.

知识梳理

1.根横坐标零点

例1解(1)令3x2-x-4=0,

解得x1=-1或x2=43,所以函数y=3x2-x-4的零点为-1,4

(2)令-4x2+4x-1=0,

解得x1=x2=12

所以函数y=-4x2+4x-1的零点为12

跟踪训练1A

例2-4

解析据题意,2+3=-a,2×3=b,解得a

∴2a+b=-4.

延伸探究3

解析根据题意,一元二次方程x2+mx+4m2-3=0的两个不同实数根分别为x1,x2,

则有Δ=m2-4(4m2-3)0,

可得m245

又x1+x2=-m,x1