第6章 §6.2 第2课时 指数函数图象与性质的综合应用.docx

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第2课时指数函数图象与性质的综合应用

[学习目标]1.掌握与指数函数有关的图象变换.2.会判断指数型函数的单调性.3.掌握指数函数的实际应用.

一、与指数函数有关的图象变换

例1利用函数f(x)=12x的图象,作出下列各函数的图象:①f(x-1);②f(x)+1;③-f(x);④f(-x);⑤-f(-x);⑥f(|x|);⑦|f(x)

反思感悟图形变换

(1)平移变换

y=f(x)y=f(x+a),

y=f(x)y=f(x)+k.

(2)对称变换

y=f(x)y=-f(x),

y=f(x)y=f(-x),

y=f(x)y=-f(-x).

(3)翻折变换

y=f(x)y=|f(x)|,

y=f(x)y=f(|x|).

跟踪训练1已知函数y=3x的图象,怎样变换得到y=13x+1

二、指数型函数的值域

例2判断f(x)=12x

反思感悟函数y=af(x)(a0,a≠1)的单调性的处理技巧

(1)关于指数型函数y=af(x)(a0,a≠1)的单调性由两点决定,一是底数a1还是0a1;二是f(x)的单调性;它由两个函数y=au,u=f(x)复合而成.

(2)求复合函数的单调区间,首先求出函数的定义域,然后把函数分解成y=φ(u),u=f(x),先求出φ(u)和f(x)的单调性,再求出y=φ(f(x))的单调性.

跟踪训练2求函数y=4x+2×2x+5的值域.

三、指数函数的实际应用

例3某林区2023年木材蓄积量为200万立方米,由于采取了封山育林、严禁采伐等措施,使木材蓄积量的年平均递增率能达到5%.

(1)若经过x年后,该林区的木材蓄积量为y万立方米,求y=f(x)的表达式,并写出此函数的定义域;

(2)求经过多少年后,林区的木材蓄积量能达到300万立方米.

反思感悟解决有关增长(衰减)率问题的关键和措施

(1)解决这类问题的关键是理解增长(衰减)率的意义:增长(衰减)率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长(衰减)率,切记并不总是只和开始单位时间内作比较.

(2)分析具体问题时,应严格计算并写出前3~4个单位时间的具体值,通过观察、归纳出规律后,再抽象为数学问题,最后求解数学问题即可.

(3)在实际问题中,有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示,通常可以表示为y=N(1+p)x(其中N为基础数,p为增长率,x为时间)的形式.

跟踪训练3酒驾是严重危害交通安全的违法行为,为了保障安全,根据国家有关规定:100ml血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车,80mg及以上认定为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后,其血液中酒精含量上升到了0.6mg/ml,如果停止饮酒后,他的血液中的酒精会以每小时25%的速度减少,那么他至少要经过几个小时后才能驾车()

A.6 B.5

C.4 D.3

1.知识清单:

(1)与指数函数有关的图象变换.

(2)指数型函数的单调性及实际应用.

2.方法归纳:数形结合法.

3.常见误区:混淆|f(x)|与f(|x|)两种变换.

1.函数y=2x+1的图象是()

2.(多选)若a1,-1b0,则函数y=ax+b的图象一定过()

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

3.一种药在病人血液中的含量低于80mg时病人就有危险,现给某病人的静脉注射了这种药10000mg,如果药在血液中以每小时80%的比例衰减,那么应再向病人的血液中补充这种药不能超过的最长时间为()

A.1.5小时 B.2小时 C.2.5小时 D.3小时

4.函数f(x)=34-x2

答案精析

例1解

跟踪训练1解

y=13

=3-(x+1)+2.

作函数y=3x关于y轴的对称图象,得函数y=3-x的图象,再向左平移1个单位长度就得到函数y=3-(x+1)的图象,最后再向上平移2个单位长度就得到函数y=3-(x+1)+2=13x+1+2的图象

例2解令u=x2-4x,则原函数变为y=12

∵u=x2-4x=(x-2)2-4在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,

y=12u在(-∞,+∞)

∴y=12x2-4x在(-∞,2]上单调递增

∵u=x2-4x≥-4,

∴y=12u,u

∴012u≤

∴原函数的值域为(0,16].

跟踪训练2解函数的定义域为R,令t=2x,则t∈(0,+∞),

y=(2x)2+2×2x+5=t2+2t+5=(t+1)2+4,

则函数y=t2+2t+5在(0,+∞)上单调递增,故y5,

所以所求函数的值域为(5,+∞).

例3解(1)现有木材蓄积量为200万立方米,经过1年后木材蓄积量为

200+200×5%=200(1+5%);

经过2年后木材蓄积

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