第7章　7.2.1　第1课时　任意角的三角函数.docx

7.2.1任意角的三角函数

第1课时任意角的三角函数

［学习目标］1.理解三角函数的概念，会求给定角的三角函数值.2.熟记特殊角的三角函数值.3.掌握任意角的三角函数值在各个象限的符号.

一、三角函数的定义及应用

问题1初中我们学习过锐角的三角函数，正弦、余弦和正切，这三个三角函数分别是怎样规定的？

问题2之前学习了任意角，我们也把任意角放到了平面直角坐标系中，那么角的终边和单位圆是否有交点？交点唯一吗？

知识梳理

任意角的三角函数的定义

条

件

如图，α为任意角，它的终边上异于原点的任一点P(x，y)与原点的距离r=，此时点P是角α的终边与半径为的圆的交点?

定

义

正

弦

比值叫作α的正弦，记作sinα=?

余

弦

比值叫作α的余弦，记作cosα=?

正

切

比值叫作α的正切，记作tanα=?

三

角

函

数

正弦函数y=sinα，α∈R；

余弦函数y=cosα，α∈R；

正切函数y=tanα，

α∈α

例1(1)已知角α的终边与单位圆的交点为P35，y(y0)，则tanα

(2)(多选)若角α的终边经过点P(x，-3)且sinα=-31010，则x的值为(

A.-3 B.-1

C.1 D.3

延伸探究在本例(2)中，将“sinα=-31010”改为“cosα=-1010”求

反思感悟利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况

(1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各三角函数值.

(2)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)是单位圆上一点，则sinα=y，cosα=x，tanα=yx

(3)若已知角α终边上一点P(x，y)不是单位圆上一点，则先求r=x2+y2，再求sinα=yr，cosα=xr，tanα=

(4)若已知角α终边上的点的坐标含参数，则需进行分类讨论.

跟踪训练1已知角α的终边过点P(-3a，4a)(a≠0)，求2sinα+cosα的值.

二、特殊角的三角函数值

例2利用定义求2π3的正弦、余弦和正切值

反思感悟先在单位圆中找到角的终边与单位圆的交点的坐标，然后利用定义，即可得到特殊角的三角函数值.

跟踪训练25π3的正弦、余弦和正切值分别为

三、三角函数符号的判断

问题3根据三角函数的定义，大家大胆猜测一下三角函数值在各个象限内的符号.

知识梳理

正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号

(1)图示：

(2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.

例3(1)若sinαtanα0，且cosαtanα0，则角α是(

A.第一象限角 B.第二象限角

C.第三象限角 D.第四象限角

(2)(多选)下列选项中，符号为负的是()

A.sin(-100°) B.cos(-220°)

C.tan10 D.cosπ

反思感悟判断三角函数值符号的两个步骤

(1)定象限：确定角α所在的象限.

(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断.

跟踪训练3已知点P(sinα，cosα)在第三象限，则角α的终边在()

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

1.知识清单：

(1)三角函数的定义及求法.

(2)特殊角的三角函数值.

(3)三角函数值在各象限内的符号.

2.方法归纳：转化与化归、分类讨论.

3.常见误区：三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上的点无关；正切函数的定义域为αα

1.已知sinα=513，cosα=-1213，则角α的终边与单位圆的交点坐标是(

A.513，-1213

C.1213，-513

2.已知角α的终边经过点(-4，3)，则cosα等于()

A.45 B.35 C.-3

3.若角θ同时满足sinθ0且tanθ0，则角θ的终边一定位于()

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

4.若点P(3，-1)在角α的终边上，则sinα=.?

答案精析

问题1在初中,我们是在直角三角形中定义的,正弦是对边比斜边,余弦是邻边比斜边,正切是对边比邻边.

问题2有交点,交点唯一.

知识梳理

x2+y2ryryrxrx

例1(1)-4

解析因为点P35,y(y

则由勾股定理得925+y2

所以y=-45,所以tanα=-4

(2)BC[OP=x2

∵sinα=-3OP=-3x2

解得x2=1,∴x=±1.]

延伸探究解OP=x2

∴cosα=xOP=xx2

解得x2=1,又x0,∴x=-1.

跟踪训练1解r=(-3a)2

①若a0