2025年湖南省长沙市湖南师范大学附属中学高三下学期月考（二）数学试题含解析.docVIP

2025年湖南省长沙市湖南师范大学附属中学高三下学期月考（二）数学试题

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（）

A． B． C． D．

2．已知，，是平面内三个单位向量，若，则的最小值（）

A． B． C． D．5

3．已知是虚数单位，若，，则实数（）

A．或 B．-1或1 C．1 D．

4．若集合，，则下列结论正确的是（）

A． B． C． D．

5．从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图：

根据频率分布直方图，可知这部分男生的身高的中位数的估计值为

A． B．

C． D．

6．函数（）的图像可以是（）

A． B．

C． D．

7．已知复数满足，则（）

A． B． C． D．

8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数（），则函数的值域为（）

A． B． C． D．

9．已知正四面体的棱长为，是该正四面体外接球球心，且，，则（）

A． B．

C． D．

10．已知双曲线（）的渐近线方程为，则（）

A． B． C． D．

11．在平面直角坐标系中，锐角顶点在坐标原点，始边为x轴正半轴，终边与单位圆交于点，则（）

A． B． C． D．

12．在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数，若关于的方程在定义域上有四个不同的解，则实数的取值范围是_______.

14．函数的定义域为__________．

15．命题“对任意，”的否定是．

16．已知函数为偶函数，则_____.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若函数在上存在两个极值点，，且，证明.

18．（12分）数列的前项和为，且.数列满足，其前项和为.

（1）求数列与的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

19．（12分）设数列是等比数列，，已知,(1)求数列的首项和公比；（2）求数列的通项公式．

20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2

（1）求椭圆C的方程；

（2）假设直线l：y=kx+m与椭圆C交于A，B两点．①若A为椭圆的上顶点，M为线段AB中点，连接OM并延长交椭圆C于N，并且ON=62OM，求OB的长；②若原点O到直线l的距离为1，并且

21．（12分）已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|.若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)(a≠0，a、b∈R)恒成立，求实数x的取值范围．

22．（10分）已知正项数列的前项和.

（1）若数列为等比数列，求数列的公比的值；

（2）设正项数列的前项和为，若，且.

①求数列的通项公式；

②求证：.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A

【解析】

分子分母同乘,即根据复数的除法法则求解即可.

【详解】

解:,

故选:A

本题考查复数的除法运算,属于基础题.

2．A

【解析】

由于，且为单位向量，所以可令，，再设出单位向量的坐标，再将坐标代入中，利用两点间的距离的几何意义可求出结果．

【详解】

解：设，，，则，从而

，等号可取到．

故选：A

此题考查的是平面向量的坐标、模的运算，利用整体代换，再结合距离公式求解，属于难题．

3．B

【解析】

由题意得，，然后求解即可

【详解】

∵，∴.又∵，∴，∴.

本题考查复数的运算，属于基础题

4．D

【解析】

由题意，分析即得解

【详解】

由题意，故，

故选：D

本题考查了元素和集合，集合和集合之间的关系，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题.

5．C

【解析】

由题可得，解得，

则，，

所以这部分男生的身高的中位数的估计值为，故选C．

6．B

【解析】

根据，可排除，然后采用导数，判断原函数的单调性，可得结果.

【详解】

由题可知：，

所以