第7章　7.3.2　第1课时　正弦函数、余弦函数的图象.docx

7.3.2三角函数的图象与性质

第1课时正弦函数、余弦函数的图象

［学习目标］1.了解正弦函数、余弦函数的图象.2.会用五点法画正弦函数、余弦函数的图象.3.能利用正弦函数、余弦函数的图象解决简单问题.

一、正弦函数、余弦函数图象的初步认识

问题1结合之前所学，研究函数的一般步骤是什么？

问题2绘制函数图象，首先要准确绘制其上一点，对于正弦函数，在［0，2π］上任取一个值x0，如何借助单位圆确定正弦函数值sinx0，并画出点T(x0，sinx0)？

问题3我们已经学会绘制函数图象上的点，接下来，如何画函数y=sinx，x∈［0，2π］的图象？

问题4如何画余弦函数的图象呢？

知识梳理

正弦函数、余弦函数的图象

函数

y=sinx

y=cosx

图象

曲线

正弦曲线：正弦函数的图象

余弦曲线：余弦函数的图象

例1(1)函数y=sinx，x∈［0，2π］的图象与直线y=-23的交点的个数为()

A.0 B.1 C.2 D.3

(2)根据函数y=sinx的图象，可得方程sinx=0的解为()

A.x=2kπ(k∈Z)

B.x=kπ(k∈Z)

C.x=π2+kπ(k∈Z)

D.x=3π2+2kπ(k∈Z

反思感悟解决正弦、余弦函数图象的注意点

对于正弦、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到.

跟踪训练1下列关于正弦函数、余弦函数的图象的描述，不正确的是()

A.都可由［0，2π］内的图象向上、向下无限延展得到

B.都是对称图形

C.都与x轴有无数个交点

D.y=sin(-x)的图象与y=sinx的图象关于x轴对称

二、“五点法”画函数的图象

知识梳理

“五点法”作图

函数

y=sinx

y=cosx

图象画法

五点法

五点法

关键五点

，?

π2

，?

3π

?

(0，1)，π2

(π，-1)，

3π

(2π，1)

例2用“五点法”作出下列函数的简图：

(1)y=sinx-1，x∈［0，2π］；

(2)y=-2cosx+3，x∈［0，2π］.

反思感悟作形如y=asinx+b(或y=acosx+b)，x∈［0，2π］的图象的步骤

跟踪训练2利用“五点法”作出函数y=2+cosx(0≤x≤2π)的简图.

三、正弦函数、余弦函数图象的应用

例3方程2sinx-1=0，x∈［0，2π］的解集为.?

延伸探究

1.不等式2sinx-1≥0，x∈［0，2π］的解集为()

A.0，π6

C.π6，π

2.在本例中把“x∈［0，2π］”改为“x∈R”，求不等式2sinx-1≥0的解集.

反思感悟利用三角函数图象解三角不等式sinxa(cosxa)的步骤

(1)作出相应的正弦函数或余弦函数在［0，2π］上的图象.

(2)确定在［0，2π］上sinx=a(cosx=a)的x值.

(3)写出不等式在区间［0，2π］上的解集.

(4)根据公式一写出定义域内的解集.

跟踪训练3解关于x的不等式12sinx≤3

1.知识清单：

(1)正弦、余弦函数图象的初步认识.

(2)五点法作图.

(3)正弦、余弦函数图象的应用.

2.方法归纳：数形结合法.

3.常见误区：五点法时选取点错误.

1.函数y=sin(-x)，x∈［0，2π］的简图是()

2.函数y=sinx，x∈［0，2π］的图象与函数y=1的图象的交点个数是()

A.1 B.2 C.3 D.4

3.在同一平面直角坐标系内，函数y=sinx，x∈［0，2π］与y=sinx，x∈［2π，4π］的图象()

A.重合 B.形状相同，位置不同

C.关于y轴对称 D.形状不同，位置不同

4.函数y=cosx+4，x∈［0，2π］的图象与直线y=4的交点的坐标为.?

答案精析

问题1先确定函数的定义域,然后画出函数图象,通过图象研究函数的值域、单调性、最值、对称性、奇偶性等函数的性质.

问题2如图,在x轴上任取一点O,以O为圆心,单位长为半径作圆.在☉O中,设AP的长为x0(即∠AOP=x0),则MP=sinx0,所以点S(x0,sinx0)是以AP的长为横坐标,正弦线MP的数量为纵坐标的点.

问题3在☉O中,作出对应于π6,π3,π2,…,11π6的角及相应的正弦线,相应地,把x轴上从0到2π这一段分成12等份.把角x的正弦线向右平移,使它的起点与x轴上表示数x的点重合,再用光滑曲线把这些正弦线的终点连接起来,就得到正弦函数y=sinx在[0,2π]

最后我们只要将函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象向左、右平移(每次2π个单位),就