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第2课时一元二次不等式的综合问题
[学习目标]1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程.了解一元二次不等式的现实意义.2.能够构建一元二次函数模型,解决实际问题.
一、简单的分式不等式
问题x-3x+20与(x-3)(x+2)0等价吗?x-3x+2≥0与(x-3)(
例1解下列不等式:
(1)x+12
(2)1-x3x
(3)x-1x
反思感悟分式不等式的解法
(1)对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解,但要注意等价变形,保证分母不为零.
(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解.
跟踪训练1解下列不等式:
(1)x+1x-3
(2)5x+1
二、“三个二次”间的关系
例2已知关于x的不等式ax2+bx+c0的解集为{x|2x3},求关于x的不等式cx2+bx+a0的解集.
延伸探究若本例中条件不变,求关于x的不等式cx2-bx+a0的解集.
反思感悟已知以a,b,c为参数的不等式(如ax2+bx+c0)的解集,求解其他不等式的解集时,一般遵循:
(1)根据解集来判断二次项系数的符号;
(2)根据根与系数的关系把b,c用a表示出来并代入所要解的不等式;
(3)约去a,将不等式化为具体的一元二次不等式求解.
跟踪训练2已知关于x的不等式x2+ax+b0的解集为{x|1x2},求关于x的不等式bx2+ax+10的解集.
三、一元二次不等式的实际应用
例3某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品,并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点),计划可收购a万担.政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品,决定将征税率降低x(x0)个百分点,预测收购量可增加2x个百分点.
(1)写出降税后税收y(万元)与x的关系式;
(2)要使此项税收在税率调节后,不少于原计划税收的83.2%,试确定x的取值范围.
反思感悟利用不等式解决实际问题的一般步骤
(1)选取合适的字母表示题目中的未知数.
(2)由题目中给出的不等关系,列出关于未知数的不等式(组).
(3)求解所列出的不等式(组).
(4)结合题目的实际意义确定答案.
跟踪训练3某农家院有客房20间,日常每间客房日租金为80元,每天都客满.该农家院欲提高档次,并提高租金,经市场调研,每间客房日租金每增加10元,客房出租数就会减少1间.每间客房日租金不得超过130元,要使每天客房的租金总收入不低于1800元,该农家院每间客房日租金提高的空间有多大?
1.知识清单:
(1)简单的分式不等式的解法.
(2)“三个二次”间的关系.
(3)一元二次不等式在现实生活中的应用.
2.方法归纳:等价变形转化.
3.常见误区:
(1)解分式不等式的等价变形.
(2)利用一元二次不等式解决实际问题时,应注意实际意义.
1.不等式1+x1-x≥0
A.(-1,1] B.[-1,1)
C.[-1,1] D.(-1,1)
2.已知关于x的不等式ax2+bx+c0的解集为{x|-2x1},那么关于x的不等式cx2-ax+b0的解集为()
A.x-
B.x
C.x-1
D.x
3.不等式x+1x≥5的解集是
4.某商品在最近30天内的单价y1(单位:元)与时间t(单位:天)的关系式是y1=t+10(0t≤30,t∈N*);日销售量y2与时间t的关系式是y2=-t+35(0t≤30,t∈N*),则使这种商品日销售金额z不小于500元的t的取值范围为.?
答案精析
问题x-3x+20与(x-3)(x+2)0等价;x-3x+2≥0与(x-3)(x+2)
例1解(1)原不等式可化为
(x+1)(2x-1)0,
∴-1x12,故原不等式的解集为x
(2)原不等式可化为x-13
∴(
∴-53≤x≤1,x≠-
故原不等式的解集为x-
(3)原不等式可化为x-1
∴x-1-(x+2)
则x-2.
故原不等式的解集为{x|x-2}.
跟踪训练1解(1)不等式x+1x-3≥
解得x≤-1或x3,即原不等式的解集为{x|x≤-1或x3}.
(2)不等式5x+1x+1
即2(x-1)
所以2(x-1)(x+1)0,
解得-1x1.
所以原不等式的解集为{x|-1x1}.
例2解由不等式ax2+bx+c0的解集为{x|2x3}可知a0,
且2和3是方程ax2+bx+c=0的两根,
由根与系数的关系可知ba=-5,ca=6.由a0知c0,bc
故不等式cx2+bx+a0,
即x2+bcx+a
即x2-56x+1
解得x13或x12,所以不等式cx2+bx+a0的解集为
延伸探究解由根与系数的关系知ba=-5,ca=6且a
∴c0,bc=
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