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第15练函数性质的综合

1.(多选)下列说法中不正确的是()

A.若x1,x2∈I,且x1x2,满足f(x1)f(x2),则y=f(x)在I上单调递增

B.函数y=x2在(0,5)上单调递增

C.函数y=-1x在(0,+∞)

D.y=1x的减区间是(-∞,0)∪

答案AD

解析由于A中的x1,x2不是任意的,因此A不正确;BC显然正确,D中减区间不能用并集.

2.下列函数在[1,4]上最大值为3的是()

A.y=1x+2 B.y=3x

C.y=x2 D.y=1-x

答案A

解析选项B,C在[1,4]上均单调递增,选项A,D在[1,4]上均单调递减,代入端点值,即可求得最值.

3.(多选)如果f(x)是定义在R上的奇函数,那么下列函数中,一定为奇函数的是()

A.g(x)=x+f(x) B.g(x)=xf(x)

C.g(x)=x2+f(x) D.g(x)=x2f(x)

答案AD

解析因为f(x)是奇函数,

所以f(-x)=-f(x).

对于A,

g(-x)=-x+f(-x)=-x-f(x)=-g(x),

所以g(x)=x+f(x)是奇函数.

对于B,g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x),

所以g(x)=xf(x)是偶函数.

对于C,g(-x)=(-x)2+f(-x)=x2-f(x),

所以g(x)=x2+f(x)既不是奇函数也不是偶函数,

对于D,g(-x)=(-x)2f(-x)=-x2f(x)=-g(x),

所以g(x)=x2f(x)是奇函数.

4.若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=x2+3x+1,则f(x)等于()

A.x2 B.2x2

C.2x2+2 D.x2+1

答案D

解析因为f(x)+g(x)=x2+3x+1,①

所以f(-x)+g(-x)=x2-3x+1.

又f(x)是偶函数,且g(x)是奇函数,

所以f(x)-g(x)=x2-3x+1.②

由①②联立,得f(x)=x2+1.

5.已知函数f(x)=2xx-1≥a在区间[3,5]上恒成立,则实数a的最大值是(

A.3 B.13

C.25 D.

答案D

解析因为f(x)=2xx-1=2(x-1)+2x-1=2+2x-1,所以函数f(x)在[3,5]上单调递减,函数f(x)的最小值为f(5)=52

6.函数f(x)=|2x-1|的减区间为,增区间为.?

答案-∞,

解析函数f(x)=|2x-1|=2x-12的图象如图所示,由图可知函数f(x)的增区间为12

7.已知函数f(x)在区间[-1,1]上是单调函数且f(0)f(1),则满足f(x)f12的实数x的取值范围为.

答案-1,

解析由题意知,函数f(x)在区间[-1,1]上单调递增,所以不等式f(x)f12等价于-1≤x≤1,x

8.已知函数f(x)=x2,x≥t,x,0xt(t

答案[1,+∞)

解析y=x2的增区间为[0,+∞),y=x的增区间为(-∞,+∞),若f(x)在(0,+∞)上单调递增,

则t≤t2,t

9.已知f(x)=x|x|,则满足4f(x)+f(3x-2)≥0的x的取值范围是.?

答案2

解析f(x)=x|x|=x2,x≥0,-x2,x0,则f(x)在R上单调递增且为奇函数,又4f(x)=4x

∴由4f(x)+f(3x-2)≥0,得f(2x)≥f(2-3x),∴2x≥2-3x,∴x≥25

10.设函数f(x)是定义在[-1,0)∪(0,1]上的奇函数,当x∈(0,1]时f(x)=-x2+ax(a∈R)

(1)当x∈[-1,0)时,求出函数的解析式;

(2)当a-2时,试判断函数f(x)在(0,1]上的单调性,并证明.

解(1)当x∈[-1,0)时,-x∈(0,1],

则f(-x)=-(-x)2-ax=-x2-a

因为函数f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),

所以f(x)=x2+ax(x∈[-1,0))

(2)当a-2时,f(x)在(0,1]上单调递增.

证明如下,设任意x1,x2∈(0,1],且x1x2.

则f(x1)-f(x2)=-x12+a

=x22-x12

=x2-x1x1x2·[x1x2(x

因为x1,x2∈(0,1],且x1x2,

所以x2-x1x1x20,x1x2(x

又因为a-2,

所以x1x2(x2+x1)+a0.

所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2).

所以当a-2时,函数f(x)在(0,1]上单调递增.