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第2课时换底公式及对数的应用
［学习目标］1.掌握换底公式及其推论.2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.
一、换底公式
问题1上节课我们学习了对数的运算性质，但对于一些式子，比如log48，log927等式子的化简求值问题还不能做到，你能解决这个问题吗？
问题2是否对任意的logab都可以表示成logab=logcblogca（a0，a≠1；b0；
知识梳理
换底公式
（1）logaN=（a0，a≠1，?
N0，c0，c≠1）.
（2）对数换底公式的重要推论：
①logaN=1logNa（N0，N≠1；a0
②loganbm=mnlogab（a0，a≠1，b
③logab·logbc·logcd=logad（a0，b0，c0，d0，且a≠1，b≠1，c≠1）.特别地logab·logba=1.
例1（1）计算：（log43+log83）（log32+log92）；
（2）已知log189=a，18b=5，用a，b表示log3645的值.
反思感悟利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
跟踪训练1（1）log89
A.23 B.
C.1 D.2
（2）计算：log
二、有附加条件的对数式求值问题
例2（1）设3a=4b=36，求2a+1
（2）已知x，y，z为正数，若3x=4y=6z，求yz-yx
反思感悟利用对数式与指数式互化求值的方法
（1）在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化.
（2）对于连等式可令其等于k（k0），然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解.
跟踪训练2已知3a=5b=c，且1a+1b=2，求c
三、对数的实际应用
例3一台机器原价20万元，由于磨损，该机器每年比上一年的价格降低8.75%，问经过多少年这台机器的价值为8万元？（lg2≈0.3010，lg9.125≈0.9602）
反思感悟解决对数应用题的一般步骤
跟踪训练3把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，t分钟后物体的温度θ℃可由公式θ=θ0+（θ1-θ0）e-kt（k为常数，e为自然对数的底数）得到，现有65℃的物体，放在15℃的空气中冷却，1分钟以后物体的温度是55℃.
（1）求常数k的值：
（2）该物体冷却多少分钟后温度是35℃？（精确到1）（参考数据：ln2≈0.69，ln5≈1.61）
1.知识清单：
（1）换底公式.
（2）有附加条件的对数式求值问题.
（3）对数的实际应用.
2.方法归纳：换底公式、转化法.
3.常见误区：要注意对数的换底公式的结构形式，易混淆.
1.0.25-12+log23·log34的值为（）
A.14 B.1
C.1 D.7
2.已知2x=3，log483=y，则x+2y的值为（）
A.3 B.8
C.4 D.log48
3.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与MN最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）（）
A.1033 B.1053
C.1073 D.1093
4.若xlog32=1，则4x的值是（）
A.9 B.3
C.2log32 D.2log23
答案精析
问题1设log48=x,故有4x=8,即22x=23,故x=32,而log28=3,log24=2,于是我们大胆猜测log48=log28log2
问题2依据当a0,a≠1时,ax=N?logaN=x推导得出.
令logcblogca=x,则logcb=xlog
故b=ax,∴x=logab,∴logab=log
知识梳理
(1)lo
例1解(1)原式=lg3
=lg32lg2+lg33lg2·lg2lg3
(2)方法一∵log189=a,18b=5,
∴log185=b.
∴log3645=log18
=log189+log18
方法二∵log189=a,18b=5,
∴log185=b.
∴log3645=log18
=log189+lo
跟踪训练1(1)A[方法一将分子、分母利用换底公式转化为常用对数,
即log89log23
方法二将分子利用换底公式转化为以2为底的对数,
即log89log23=
(2)解原式=lo
=log132·log349=log
=-12·log32·3log23=-3
例2解(1)方法一由3a=4b=36,
得a=log336,b=log436,
由换底公式得1a=log363,1b=log
∴2a+1b=2log363+log
=log369+log364=log3636=1.
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