广东省惠州市博罗县杨侨中学、石湾中学两校2025届高三上学期8月联考数学试卷.docxVIP

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广东省惠州市博罗县杨侨中学、石湾中学两校2025届高三上学期8月联考数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，则（????）

A． B． C． D．

2．已知复数，则（????）

A．1 B． C． D．

3．已知和的夹角为，且，则（????）

A． B． C．3 D．9

4．记为等比数列的前项和，若，则（????）

A．5 B．6 C．7 D．8

5．为了美化广场环境，县政府计划定购一批石墩．已知这批石墩可以看作是一个圆台和一个圆柱拼接而成，其轴截面如下图所示，其中，，则该石墩的体积为（????）

A． B． C． D．

6．已知，则（????）

A． B． C． D．

7．已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

8．函数所有零点的和等于（????）

A．6 B．7.5 C．9 D．12

二、多选题

9．下列说法中，正确的是（????）

A．数据的第百分位数为

B．已知随机变量服从正态分布，；则

C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程，若，则

D．若样本数据的方差为，则数据的方差为4

10．已知函数，则下列说法正确的有（????）

A．若是上的增函数，则

B．当时，函数有两个极值

C．当时，函数有两零点

D．当时，在点处的切线与只有唯一个公共点

11．双纽线是卡西尼卵形线的一类分支，在数学曲线领域占有至关重要的地位，同时也具有特殊的有价值的艺术美.它既是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素.双纽线的图形轮廓像阿拉伯数字中的“8”，如图曲线是双纽线，下列说法正确的是（????）

A．曲线的图象关于原点对称

B．曲线经过7个整点（横、纵坐标均为整数的点）

C．曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3

D．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为

三、填空题

12．设是双曲线C:的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且，则面积为.

13．若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是.

14．第33届奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行.某田径运动员准备参加100米?200米两项比赛，根据以往赛事分析，该运动员100米比赛未能站上领奖台的概率为，200米比赛未能站上领奖台的概率为，两项比赛都未能站上领奖台的概率为，若该运动员在100米比赛中站上领奖台，则他在200米比赛中也站上领奖台的概率是.

四、解答题

15．记的内角所对边分别为．已知．

(1)求的大小；

(2)若，再从下列条件①，条件②中任选一个作为已知，求的面积．

条件①：；条件②：．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

16．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且右焦点为．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)直线交椭圆于，两点，若线段中点的横坐标为．求直线的方程．

17．如图，AB是圆的直径，平面PAC面ACB，且APAC．

(1)求证：平面；

(2)若，求直线AC与面PBC所成角的正弦值.

18．已知函数．

(1)当时，讨论的单调性；

(2)当时，，求a的取值范围；

(3)设，证明：．

19．对任意正整数，定义的丰度指数，其中为的所有正因数的和．

(1)求的值：

(2)若，求数列的前项和

(3)对互不相等的质数，证明：，并求的值．

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参考答案：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

C

C

C

D

B

B

C

BC

AB

题号

11

答案

ACD

1．B

【分析】先解不等式求得集合，进而求得.

【详解】集合.

而，故.

故选：B

2．C

【分析】利用复数的乘除法运算结合共轭复数的定义、模长公式计算即可.

【详解】易知，则，

所以．

故选：C．

3．C

【分析】根据向量数量积运算求得正确答案.

【详解】

故选：C

4．C

【分析】利用等比数列的通项公式和前项和公式即可求解.

【详解】设等比数列的首项为，公比为，

由，即，解得.

所以.

故选：C.

5．D

【分析】过点作于，根据条件，求出圆台的高，再利用圆台与圆柱的体积公式，即可求出结果.

【详解】如图，过点作于，

因为，，所以，，

所以圆台的体积为，

又圆柱