苏教版高中同步学案数学选择性必修第一册精品课件 第五章 导数及其应用 5.2.3 简单复合函数的导数.pptVIP

5.2.3简单复合函数的导数第五章

内容索引0102基础落实?必备知识全过关重难探究?能力素养全提升03学以致用?随堂检测全达标

课标要求1.了解复合函数的概念,掌握复合函数的求导法则;2.能够利用复合函数的求导法则,并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导.

基础落实?必备知识全过关

知识点复合函数的导数基本初等函数

名师点睛复合函数的求导,关键是弄清如何复合而成的,遵循原则是由外及里,层层求导.

过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)f(x)=x2-是复合函数.()(2)设f(x)=e-x,则f(x)=e-x.()(3)设f(x)=ln(2x+1),则f(x)=.()2.试说明函数y=ln(2x+5)是如何复合而成的.××√提示设u=2x+5,则y=lnu,从而y=ln(2x+5)可以看作是由y=lnu和u=2x+5,经过“复合”得到的,即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数.

重难探究?能力素养全提升

探究点一求复合函数的导数【例1】求下列函数的导数.

规律方法1.求复合函数的导数的步骤:2.求复合函数的导数的注意点:(1)分解的函数通常为基本初等函数;(2)求导时分清是对哪个变量求导;(3)计算结果尽量简洁.

变式训练1(2021重庆渝中期末)已知函数f(x)=eπx·sin2πx,求f的值.

探究点二与复合函数有关的切线问题

规律方法解此类问题的关键点:(1)求复合函数的导数,这是正确解答的前提条件,要注意把复合函数逐层分解,求导时不要有遗漏;(2)求切线方程,注意切线所过的点是否为切点.

变式训练2(2021陕西西安模拟)设曲线y=e-x(x0)在点M(t,e-t)处的切线l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S(t),求S(t)的解析式.?解对y=e-x求导可得y=(e-x)=-e-x,故在点M(t,e-t)处的切线l的斜率为-e-t,故切线l的方程为y-e-t=-e-t(x-t),

探究点三求导法则的综合应用【例3】已知函数f(x)=ax2+2ln(2-x)(a∈R),设曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为l,若直线l与圆C:x2+y2=相切,求实数a的值.

规律方法关于复合函数导数的应用及其解决方法1.应用:求在某点处的切线方程,已知切线的方程或斜率求切点,以及涉及切线问题的综合应用.2.方法:先求出复合函数的导数,若已知切点,则求出切线斜率、切线方程;若切点未知,则先设出切点,用切点表示切线斜率,再根据条件求切点坐标.

变式探究若将本例中条件改为“直线l与圆C:x2+y2=相交”,求实数a的取值范围.

本节要点归纳1.知识清单:(1)复合函数的概念;(2)复合函数的求导法则;(3)复合函数的导数的应用.2.方法归纳:转化法.3.常见误区:求复合函数的导数时不能正确分解函数;求导时不能分清是对哪个变量求导;计算结果复杂化.

学以致用?随堂检测全达标

1.(多选题)函数y=(x2-1)n的复合过程正确的是()A.y=un,u=x2-1B.y=(u-1)n,u=x2C.y=tn,t=(x2-1)nD.t=x2-1,y=tn答案AD

答案B

3.已知函数f(x)=ln(ax-1)的导函数是f(x),且f(2)=2,则实数a的值为()答案B

4.设曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a=.?答案2解析易知y=aeax,则切线斜率k=ae0=a,故a×(-)=-1,则a=2.

本课结束