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2024届高考数学立体几何〔理科〕专题02二面角
1.如图,在三棱柱中,侧面底面.
(1)求证:平面;
(2)假设,求二面角的余弦值.
2.如以下列图的多面体中,下底面平行四边形与上底面平行,且,,,,平面平面,点为的中点.
〔1〕过点作一个平面与平面平行,并说明理由;
〔2〕求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
3.如图,在四棱锥中,底面为平行四边形,,,且底面.
〔1〕证明:平面平面;
〔2〕假设为的中点,且,求二面角的大小.
4.如以下列图的几何体是由棱台和棱锥拼接而成的组合体,其底面四边形是边长为2的菱形,,平面.
〔1〕求证:;
〔2〕求平面与平面所成锐角二面角的余弦值.
5.在四棱锥中,四边形是矩形,平面平面,点、分别为、中点.
〔1〕求证:平面;
〔2〕假设,求平面DEF与平面所成锐二面角的余弦值.
6.如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,,平面底面,为中点,是棱上的点,.
〔Ⅰ〕假设点是棱的中点,求证:平面;
〔Ⅱ〕求证:平面平面;
〔Ⅲ〕假设二面角为,设,试确定的值.
2024届高考数学立体几何〔理科〕专题02二面角〔教师版〕
1.如图,在三棱柱中,侧面底面.
(1)求证:平面;
(2)假设,求二面角的余弦值.
【答案】〔1〕证明见解析;〔2〕.
侧面底面,侧面,.
又,平面.
(2)在中,,又菱形中,,为正三角形.
设为平面的方向量,那么
令,得为平面的一个法向量.又为平面的一个法向量,
.二面角的余弦值为.
2.如以下列图的多面体中,下底面平行四边形与上底面平行,且,,,,平面平面,点为的中点.
〔1〕过点作一个平面与平面平行,并说明理由;
〔2〕求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】〔1〕见解析;〔2〕
试题解析:〔1〕取的中点,的中点,连接、、,
如以下列图.那么平面平面,平面即为所求的平面.
理由如下:在平行四边形中,点分别是与的中点,
所以,在中,点分别是的中点,所以.
显然,,所以平面平面,亦即平面平面.
〔2〕不妨设,,,故,.
在平行四边形中,,所以.
取的中点,那么.又平面平面,平面平面,所以平面.
连接,因为,,所以,又,所以.
如以下列图,以点为坐标原点建立空间直角坐标系,那么,,,,,,,,.
所以,,,.
设平面的法向量为,
那么由,即,整理得.令,.所以.
所以.
3.如图,在四棱锥中,底面为平行四边形,,,且底面.
〔1〕证明:平面平面;
〔2〕假设为的中点,且,求二面角的大小.
【答案】〔1〕见解析〔2〕
试题解析:〔1〕证明:∵,∴,∴,∴.
又∵底面,∴.∵,∴平面.
而平面,∴平面平面.
〔2〕解:由〔1〕知,平面,
∴,∴.故,.
设平面的法向量为,那么,即,令,得.
易知平面的一个法向量为,那么,∴二面角的大小为.
4.如以下列图的几何体是由棱台和棱锥拼接而成的组合体,其底面四边形是边长为2的菱形,,平面.
〔1〕求证:;
〔2〕求平面与平面所成锐角二面角的余弦值.
【答案】〔1〕证明见解析;〔2〕.
又棱台中,
∴
(2)建立空间直角坐标系如以下列图,那么,,,,,,所以,,,,
设平面的一个法向量为,那么,
∴,.令,得,∴;
设平面的法向量为,那么,
∴,令,得,,∴,
设平面与平面所成锐二面角为,那么,
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
5.在四棱锥中,四边形是矩形,平面平面,点、分别为、中点.
〔1〕求证:平面;
〔2〕假设,求平面DEF与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】〔1〕见解析〔2〕
试题解析:〔I〕证明:取中点,连接.在△中,有分别为、中点
而平面,平面平面
〔II〕取中点,连接,设.四边形是矩形
平面平面,平面平面=,平面
平面又,,为中点
,,.
故可建立空间直角坐标系,如以下列图,那么
,,,,
,
,
设是平面的一个法向量,那么,
即不妨设,那么.
易知向量为平面的一个法向量.
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
6.如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,,平面底面,为中点,是棱上的点,.
〔Ⅰ〕假设点是棱的中点,求证:平面;
〔Ⅱ〕求证:平面平面;
〔Ⅲ〕假设二面角为,设,试确定的值.
试题解析:
因为平面,平面所以平面.
〔Ⅱ〕因为为中点,
所以四边形为平行四边形,所以.
因为,所以,即.
又因为平面平面,且平面平面
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