第7章　§7.4　三角函数应用.docx

［学习目标］1.通过构建三角函数模型，尝试解决物理中的简单问题.2.会用三角函数解决简单的实际问题.

一、三角函数模型在物理中的应用

问题某个弹簧振子(简称振子)在完成一次全振动的过程中，时间t(单位：s)与位移y(单位：mm)之间的对应数据如下表所示.试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式.

t

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

y

-20.0

-17.8

-10.1

0.1

10.3

17.7

20.0

t

0.35

0.40

0.45

0.50

0.55

0.60

y

17.7

10.3

0.1

-10.1

-17.8

-20.0

知识梳理

简谐运动

简谐运动(单摆、弹簧振子等)是一种周期运动，其运动规律可以用三角函数表达为y=Asin(ωx+φ)，其中，x表示，y表示相对于的偏离；?

(1)A表示物体运动时离开平衡位置的最大距离，称为；?

(2)往复运动一次所需的时间T=2πω称为这个运动的；

(3)单位时间内往复运动的次数f=1T=ω2π称为运动的

(4)ωx+φ称为，x=0时的相位φ称为.?

例1一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，小球来回摆动时，离开平衡位置的位移s(单位：厘米)与时间t(单位：秒)的函数关系是s=6sin2πt

(1)画出它在一个周期内的图象；

(2)回答以下问题：

①小球开始摆动(t=0)时，离开平衡位置多少厘米？

②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少厘米？

③小球来回摆动一次需要多少时间？

反思感悟处理物理学问题的策略

(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性.

(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题.

跟踪训练1已知电流I与时间t的关系为I=Asin(ωt+φ).

(1)如图所示的是I=Asin(ωt+φ)A0，ω0，|φ|π2在一个周期内的图象，根据图中数据求I

(2)如果t在任意1150秒的时间内，电流I=Asin(ωt+φ)都能取得最大值和最小值，那么ω

二、三角函数模型在生活中的应用

例2如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径40米.如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时.请解答下列问题.

(1)求出你与地面的距离y(单位：米)与时间t(单位：分钟)之间的函数解析式；

(2)当你第四次距离地面60.5米时，用了多长时间？

(3)当你登上摩天轮2分钟后，你的朋友也在摩天轮最低处登上摩天轮，问：你的朋友登上摩天轮多长时间后，你和你的朋友与地面的距离之差最大？并求出最大值.

反思感悟解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行

(1)认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论.

(2)建立三角函数模型，将实际问题数学化.

(3)利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解.

(4)根据实际问题的意义，得出实际问题的解.

(5)将所得结论返回、转译成实际问题的答案.

跟踪训练2已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数y=10sinπ

+20，x∈［4，16］.

(1)求该地区这一段时间内的最大温差；

(2)若有一种细菌在15℃到25℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？

1.知识清单：

(1)三角函数模型在物理中的应用.

(2)三角函数模型在生活中的应用.

2.方法归纳：数学建模、数形结合.

3.常见误区：选择三角函数模型时，最后结果忘记回归实际问题.

1.函数y=13sin13x+π

A.3π，13，π6 B.6π，1

C.3π，3，-π6 D.6π，3，

2.在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球，它们做上下自由振动.已知它们在时间t(s)时离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定：s1=5sin2t+π6，s2=5cos2t-π3.则在时间t=2π3时，s

A.s1s2 B.s1s2

C.s1=s2 D.不能确定

3.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F(t)=50+4sint2(t≥0)，则在下列时间段中人流量是增加的是()

A.［0，5］ B.［5，10］

C.［10，15］ D.［15，20］

4.弹簧振子的振幅为2cm，在6s内振子通过的路程是32cm，由此可知该振子振动的()

A.频率为1.5Hz B.周期为1.5s

C.周期为6s D.频率为6Hz

答案精析