第7章　§7.4　三角函数应用.docx

[学习目标]1.通过构建三角函数模型,尝试解决物理中的简单问题.2.会用三角函数解决简单的实际问题.

导语

现实世界中,许多事物的运动、变化呈现出一定的周期性,例如,地球的自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化;海水在月球和太阳引力下发生的涨落现象;做简谐运动的物体的位移变化;人体在一天中血压、血糖浓度的变化等等,如果某种变化着的现象具有周期性,那么它可以借助三角函数来描述,利用三角函数的图象和性质解决相应的实际问题,今天,我们就一起来探究如何构建三角函数模型解决实际问题.

一、三角函数模型在物理中的应用

问题某个弹簧振子(简称振子)在完成一次全振动的过程中,时间t(单位:s)与位移y(单位:mm)之间的对应数据如下表所示.试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式.

t

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

y

-20.0

-17.8

-10.1

0.1

10.3

17.7

20.0

t

0.35

0.40

0.45

0.50

0.55

0.60

y

17.7

10.3

0.1

-10.1

-17.8

-20.0

提示振子的振动具有循环往复的特点,由振子振动的物理学原理可知,其位移y随时间t的变化规律可以用函数y=Asin(ωt+φ)来刻画.

根据已知数据作出散点图,如图所示.

由数据表和散点图可知,振子振动时位移的最大值为20mm,因此A=20;振子振动的周期为T=0.6s,即2πω=0.6,解得ω=10π3;再由初始状态(t=0)振子的位移为-20,可得sinφ=-1,因此φ=-π2.所以振子的位移关于时间的函数解析式为y=20sin10π3t

知识梳理

简谐运动

简谐运动(单摆、弹簧振子等)是一种周期运动,其运动规律可以用三角函数表达为y=Asin(ωx+φ),其中,x表示时间,y表示相对于平衡位置的偏离;

(1)A表示物体运动时离开平衡位置的最大距离,称为振幅;

(2)往复运动一次所需的时间T=2πω称为这个运动的周期

(3)单位时间内往复运动的次数f=1T=ω2π称为运动的

(4)ωx+φ称为相位,x=0时的相位φ称为初相位.

注意点:如果A0或ω0,应先利用诱导公式把函数进行标准化,把A和ω的符号化为正数以后再确定相位和初相位.

例1一根细线的一端固定,另一端悬挂一个小球,小球来回摆动时,离开平衡位置的位移s(单位:厘米)与时间t(单位:秒)的函数关系是s=6sin2πt

(1)画出它在一个周期内的图象;

(2)回答以下问题:

①小球开始摆动(t=0)时,离开平衡位置多少厘米?

②小球摆动时,离开平衡位置的最大距离是多少厘米?

③小球来回摆动一次需要多少时间?

解(1)周期T=2π2π=1(秒).列表

2πt+π

π

π

π

3π

2π

2π+π

t

0

1

5

2

11

1

6sin2π

3

6

0

-6

0

3

描点画图,如图所示.

(2)①当t=0时,s=6sin?π6=3,故小球开始摆动(t=0)时,离开平衡位置3厘米

②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6厘米.

③小球来回摆动一次需要1秒(即周期).

反思感悟处理物理学问题的策略

(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等,其共同的特点是具有周期性.

(2)明确物理概念的意义,此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念,因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题.

跟踪训练1已知电流I与时间t的关系为I=Asin(ωt+φ).

(1)如图所示的是I=Asin(ωt+φ)A0,ω0,φπ2在一个周期内的图象,根据图中数据求I=A

(2)如果t在任意1150秒的时间内,电流I=Asin(ωt+φ)都能取得最大值和最小值,那么ω的最小正整数值是多少

解(1)由题图知A=300,设t1=-1900,t2=1

则周期T=2(t2-t1)=21180+1

∴ω=2πT=150π

又当t=1180时,I=0,即sin150π×

而|φ|π2,∴φ=π

故所求的解析式为I=300sin150πt

(2)依题意,周期T≤1150,即2πω≤1150

∴ω≥300π942,又ω∈N*,

故所求最小正整数ω=943.

二、三角函数模型在生活中的应用

例2如图,游乐场中的摩天轮匀速旋转,每转一圈需要12分钟,其中心O距离地面40.5米,半径40米.如果你从最低处登上摩天轮,那么你与地面的距离将随时间的变化而变化,以你登上摩天轮的时刻开始计时.请解答下列问题.

(1)求出你与地面的距离y(单位:米)与时间t(单位:分钟)之间的函数解析式;

(2)当你第四次距离地面60.5米时,用了多长时间?

(3)当你登上摩天轮2分钟后,你的朋友也在摩天轮最低处登上摩天轮,问:你的朋友登上摩天轮多长时间后