考点巩固20 抛物线方程及其性质(六大考点)2025年高考一轮复习(解析).docxVIP

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考点巩固卷20抛物线方程及其性质(六大考点)

考点01：抛物线的定义与方程

已知抛物线，是抛物线的焦点弦，点是的中点.垂直准线于，垂直准线于，垂直准线于，交抛物线于点，准线交轴于点.求证：

结论1：，

结论2：

结论3：以为直径的圆与准线相切；

证明：是梯形的中位线，

结论4：；

结论5：；

1．设抛物线的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，，，则l的斜率是（????）

A．±1 B． C． D．±2

【答案】D

【分析】根据抛物线的定义得到如图的抛物线，得到，可求得，做在直角三角形中，可求得，结合斜率的定义进行求解即可

【详解】下图所示为l的斜率大于0的情况．

如图，设点A，B在C的准线上的射影分别为，，，垂足为H．

设，，则．

而，所以，

l的斜率为．同理，l的斜率小于0时，其斜率为．

另一种可能的情形是l经过坐标原点O，可知一交点为，则，

可求得，可求得l斜率为，

同理，l的斜率小于0时，其斜率为．

故选：D

2．设抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，，，则（????）

A．1 B．2 C．4 D．22

【答案】B

【分析】设直线的方程为，Ax1,y1，Bx

【详解】设抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，

设直线的方程为，Ax1,y1

联立，可得，所以，，

则．因为，，所以，，

则，解得或．因为，所以．

故选：B

3．若抛物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的2倍．则（????）

A． B．1 C． D．2

【答案】D

【分析】根据抛物线的方程，结合抛物线的标准方程，得到抛物线的焦点和准线，利用抛物线的定义，得到抛物线上的点到焦点的距离，根据题意得到关于的方程，求解即可．

【详解】已知拋物线的方程为，可得．

所以焦点为，准线为：．

抛物线上一点Ax0,y0

即，

又∵A到x轴的距离为，

由已知得，解得．

故选：D．

4．已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，为坐标原点，，则（????）

A．4 B．6 C．8 D．10

【答案】B

【分析】求出抛物线焦点和准线方程，设，结合与抛物线方程，得到，由焦半径公式得到答案.

【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，

设，则，解得或（舍去），

则．

故选：B．

5．已知点为平面内一动点，设甲：的运动轨迹为抛物线，乙：到平面内一定点的距离与到平面内一定直线的距离相等，则（???）

A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件

C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】A

【分析】根据已知条件，结合充分条件、必要条件的定义，即可求解．

【详解】解：当直线经过定点时，点的轨迹是过定点且垂直于该直线的另一条直线，

当直线不经过该定点时，点的轨迹为抛物线，

故甲是乙的充分条件但不是必要条件．

故选：A．

6．已知点在焦点为的抛物线上，若，则（????）

A．3 B．6 C．9 D．12

【答案】A

【分析】由抛物线的定义列方程可得.

【详解】抛物线，准线，,

由抛物线的定义可知，解得.

故选：A.

7．已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为的直线与直线交于点A，点M在抛物线上，且满足MA=MF，则（???）

A．1 B． C．2 D．

【答案】C

【分析】由题意先求出过F且斜率为的直线方程，进而可求出点，接着结合点M在抛物线上且MA=MF可求出，从而根据焦半径公式MF=xM

【详解】由题意可得F1,0，故过F且斜率为的直线方程为y=-x-1

令x=-1?y=2，则由题A-

因为MA=MF，所以垂直于直线，故yM=2

又M在抛物线上，所以由22

所以MF=

故选：C.

8．点F抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若，则（????）

A．2 B． C．3 D．

【答案】C

【分析】设，根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，再由可得为的重心，从而可求出，再根据抛物线的定义可求得结果.

【详解】设，

由，得，所以，准线方程为，

因为，所以为的重心，

所以，所以，

所以

，

故选：C

9．已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【分析】点到直线的距离为，到准线的距离为，利用抛物线的定义得，当，和