第7章　7.2.3　第2课时　诱导公式(二).docx

第2课时诱导公式(二)

［学习目标］1.在诱导公式一~四的基础上，掌握诱导公式五、六的推导过程.2.能够利用诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题.

一、诱导公式五、六

问题1回顾上节课我们推导公式四的过程.

问题2如图所示，我们作了点P1关于直线y=x的对称点P5，你能发现这两点有什么关系吗？

知识梳理

诱导公式五、六

二、给角(值)求值

例1(1)已知cos31°=m，则sin239°tan149°的值是()

A.1-m2m

C.-1-m2m

(2)已知sinπ3-α=12，则cos

延伸探究

1.将本例(2)的条件改为sinπ3+α=12，求

2.将本例(2)增加条件“α是第三象限角”，求sin7π6+

反思感悟利用诱导公式化简、求值的策略

(1)已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意的三角函数值转化成锐角的三角函数值求解，转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用.

(2)对式子进行化简或求值时，要注意要求的角与已知角之间的关系，并结合诱导公式进行转化，特别要注意角的范围.

(3)常见的互余的角：π3-α与π6+α，π4+α与π4-α等，常见的互补的角：π6+α与5π6-α，π3+α与2π3-α，π

(4)已知一个角的某种三角函数值，求与之相关的另一个角的三角函数值，常用换元法，将已知角看作一个整体.

跟踪训练1(1)已知sin5π2+α=15，那么cosα等于

A.-25 B.-15 C.1

(2)已知sinα-3π4=13，则cosπ4

A.223 B.-223

三、利用公式进行化简、证明

例2(1)求证：2sinθ-3π

(2)化简：sin(6π-α

tan(5π-α

反思感悟用诱导公式进行化简时的注意点

(1)化简后项数尽可能的少.

(2)函数的种类尽可能的少.

(3)能求值的一定要求值.

(4)含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等.

跟踪训练2化简：tan(2π-α

1.知识清单：

(1)诱导公式五、六.

(2)利用诱导公式进行化简、求值与证明.

2.方法归纳：奇变偶不变，符号看象限.

3.常见误区：函数符号的变化，角与角之间的联系与构造.

1.已知cos78°约等于0.20，那么sin12°约等于()

A.0.20 B.0.80 C.0.88 D.0.95

2.若sinπ2-θ0，且cosπ2+θ0，则

A.第一象限角 B.第二象限角

C.第三象限角 D.第四象限角

3.已知tanθ=2，则sinπ2+θ-cos(π-

A.2 B.-2 C.0 D.2

4.化简：cos(6π+θ)sin(-2π-θ

答案精析

问题1利用了单位圆的对称性,作了点P1关于原点对称的点.

问题2如图,过点P1向x轴作垂线,垂足为A,过点P5向y轴作垂线,垂足为B,由图象的对称性可知,∠AOP1=∠BOP5=α,故OP5为π2-α的终边,以OP5为终边的角γ可以表示为γ=2kπ+π2-α(

在Rt△AOP1和Rt△BOP5中,OP1=OP5,故△AOP1≌△BOP5,即P1的横坐标与P5的纵坐标相同,P1的纵坐标与P5的横坐标相同,若点P1的坐标为(x,y),则点P5的坐标为(y,x),根据三角函数的定义,于是我们可以得到sinα=y,cosα=x;cosπ2-α=y=sinα,sinπ2

知识梳理

cosαcosαsinα-sinα

例1(1)B[sin239°tan149°

=sin(180°+59°)tan(180°-31°)

=-sin59°(-tan31°)

=-sin(90°-31°)(-tan31°)

=-cos31°(-tan31°)=sin31°

=1-cos231°=

(2)1

解析cosπ

=cosπ

=sinπ3-α

延伸探究

1.解cos5π6+

=-sinπ3+α

2.解因为α是第三象限角,所以-α是第二象限角,又sinπ3-α

所以π3-α是第二象限角

所以cosπ3-α

所以sin7π6+

=-sinπ6+α=-cosπ

跟踪训练1(1)C(2)D

例2(1)证明左边=-2sin

=2sin

=-2sin

=-2cosθsin

=sinθ+cosθsinθ

所以原等式成立.

(2)解原式=sin(-α)cos

=(-sinα)(-sin

=-sin2

=-sin2αcos2

跟踪训练2解原式=tan(-

=(-tan

=si

=sin2α-cosα

随堂演练

1.A2.C3.B4.-tanθ