统计概率解答题新考点答案公开课教案教学设计课件资料.docx

统计概率解答题新考点答案

【例19】（2024·浙江宁波·高三期末）某款游戏预推出一项皮肤抽卡活动，玩家每次抽卡需要花费10元，现有以下两种方案．方案一：没有保底机制，每次抽卡抽中新皮肤的概率为p1；方案二：每次抽卡抽中新皮肤的概率为p2，若连续99次未抽中，则第100次必中新皮肤．已知0p2p

(1)求X，Y的分布列；

(2)求EX

(3)若p1=2p

【答案】(1)PX=k=1-p

(2)E

(3)选择方案二

【分析】（1）根据独立事件和对立事件的概率公式求出PX=k

（2）结合错位相减法可求期望，

（3）由已知条件依次求得EX，E

【详解】（1）X可取值10,20,30,?,，Y可取值10,20,?,1000，

当X=k时，摸球次数为k10，没有抽中新皮肤的概率为1-

故PX=k=1-

PY=k

（2）令A=t=1

则1-p1A=

整理得到p1

所以A=1-

若玩家按方案一抽卡，花费k元时抽到皮肤，则抽取次数为k10

而PX=s=p11-

则E

=101-

因为玩家按方案一抽卡次数无限制，

且当n→+∞时，k1-p

所以EX

（3）p1=2p

由（2）可得故EX

若玩家按方案二抽卡，则Y可取值10,20,?,1000，

且PY=i=0.01×0.99

PY=1000

故EY

=1000×

=0.1×

=1000

=1000-990×

≈1000-990?

因为EX

【变式19-1】（2024·高三·期末）设离散型随机变量X和Y有相同的可能取值，它们的分布列分别为PX=ak=xk，PY=ak=yk，xk0，

(1)若Y~B(n,q),0q1，求D(X‖

(2)若n=2,P(Y=k-1)=13,k=1,2,3

(3)对任意与X有相同可能取值的随机变量Y，证明：D(X‖

【答案】(1)np

(2)ln

(3)证明见解析

【分析】（1）利用定义，结合二项分布的概率公式与对数的运算法则即可得解；

（2）利用定义，结合对数的运算法则得到D(X‖Y)关于p的关系式，再利用导数求得其最小值，从而得解；

（3）先利用导数证得恒不等式lnx≥1-

【详解】（1）不妨设ak=k，则

所以D(X‖Y)=i=1

=

=npln

（2）当n=2时，P(X=2)=p

记f(p)=D(X‖Y)=

=p

则f

=2[ln

令g(p)=lnp-ln

令φp=1

当0p12时，φ

当12p1时，φ

所以φpφ12=4-2

所以f(p)在0,1

则f(p)在0,12单调递减，在

所以D(X‖Y)的最小值为ln3-

（3）令hx=ln

当0x1时，hx0

当x1时，hx0

所以hx≤h1=0，即

则当x0时，lnx≤x-1，所以ln1x

故D(X‖Y)=k=1

当且仅当对所有的k,x

【点睛】关键点睛：本题解决的关键是充分理解新定义指标D(X‖

【变式19-2】（2024·安徽省·高三模拟）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，在下落的过程中，小球将遇到黑色障碍物3次，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是23，13.设小球向左的次数为随机变量

(1)求随机变量X的概率分布列；

(2)分别求出小球落入A袋和B袋中的概率.

【答案】(1)分布列见解析

(2)小球落入A袋和B袋中的概率分别为13和

【分析】（1）易得X～B3,

（2）小球落入A袋则小球一直向左或一直向右，从而可求出小球落入A袋的概率，再利用对立事件的概率公式可求得小球落入B袋的概率.

【详解】（1）解：由题意可知，X～B3,

则PX=k

列表如下：

P

0

1

2

3

X

1

2

4

8

（2）解：小球落入A袋的概率PA

小球落入B袋中的概率PB

所以小球落入A袋和B袋中的概率分别为13和2

【变式19-3】（2024·安徽省·高三模拟）我国一科技公司生产的手机前几年的零部件严重依赖进口，2019年某大国对其实施限制性策略，该公司启动零部件国产替代计划，与国内产业链上下游企业开展深度合作，共同推动产业发展．2023年9月该公司最新发布的智能手机零部件本土制造比例达到」90%，以公司与一零部件制造公司合作生产某手机零部件，为提高零部件质量，该公司通过资金扶持与技术扶持，帮助制造公司提高产品质量和竞争力，同时派本公司技术人员进厂指导，并每天随机从生产线上抽取一批零件进行质量检测．下面是某天从生产线上抽取的10个零部件的质量分数（总分1000分，分数越高质量越好）：928、933、945、950、959、967、967、975、982、994．假设该生产线生产的零部件的质量分数X近似服从正态分布Nμ,202，并把这10个样本质量分数的平均数x

参考数据：若X~Nμ,σ2

(1)求μ的值；

(2)估计该生产线上生产的1000个零部件中，