第7章　7.3.1　三角函数的周期性.docx

7.3.1三角函数的周期性

［学习目标］1.理解周期函数，最小正周期的定义.2.会求正、余弦函数和正切函数的周期.3.能够判断实际问题中的周期.

一、周期函数的概念

问题1单摆运动、时钟的圆周运动、四季变化等，都具有周期性变化的规律，对于正弦、余弦函数是否也具有周期性？

问题2把这个性质推广到函数的一般形式，应如何描述呢？

知识梳理

1.函数的周期性

设函数y=f(x)的定义域为A，如果存在一个，使得对于任意的x∈A，都有x+T∈A，并且，那么函数f(x)就叫作周期函数.叫作这个函数的周期.?

2.最小正周期

对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么，这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期.

3.正弦函数和余弦函数的最小正周期为2π，正切函数的最小正周期为π.

函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω0)的周期为，函数y=Atan(ωx+φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω0)的周期为.?

二、求三角函数的周期

例1求下列函数的周期：

(1)f(x)=cos2x

(2)f(x)=|sinx|.

反思感悟求三角函数周期的方法

(1)定义法：利用周期函数的定义求解.

(2)公式法：①对形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω0)的函数，T=2πω

②对形如y=Atan(ωx+φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω0)的函数，T=πω

跟踪训练1(1)(多选)下列函数中，周期为4π的是()

A.y=sin12x-π6

C.y=sinx2 D.y=2cos

(2)函数y=tankx2-π6的最小正周期不小于3

三、周期函数在实际问题中的应用

例2若单摆中小球相对静止位置的位移x(cm)随时间t(s)的变化而周期性地变化，如图所示，请回答下列问题：

(1)单摆运动的周期是多少？

(2)从O点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从A点算起呢？

(3)当t=11s时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？

反思感悟根据函数关系对应的图象，首先确定函数的周期，然后再利用周期解决问题.

跟踪训练2一机械振动中，某质点离开平衡位置的位移x(cm)与时间t(s)之间的函数关系，如图所示.

(1)求该函数的周期；

(2)求当t=25.5s时，该质点离开平衡位置的位移.

1.知识清单：

(1)周期函数的概念.

(2)三角函数的周期.

(3)周期函数的实际应用.

2.方法归纳：数形结合法.

3.常见误区：忽视定义域内x的任意性.

1.函数f(x)=sinx3的最小正周期为()

A.6π B.3π C.2π D.π

2.函数y=sinx+π2是(

A.周期为π的奇函数 B.周期为π的偶函数

C.周期为2π的奇函数 D.周期为2π的偶函数

3.下列函数中，周期为π2的是()

A.y=sinx2 B.y=sin2

C.y=cosx4 D.y=cos(-4x

4.设k0，若函数f(x)=sinkx+π5的最小正周期为2π3，则

答案精析

问题1由单位圆中的三角函数线可知,正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象.每当角增加(或减少)2π,所得角的终边与原来角的终边相同,故两角的正弦、余弦函数值也分别相同.即有sin(x+2π)=sinx,cos(x+2π)=cosx,故正弦函数、余弦函数也具有周期性.同样,正切函数也具有类似性质,即tan(x+π)=tanx.

问题2对于函数f(x),若存在非零常数T,使得f(x+T)=f(x)对定义域内的任意x都成立,那么f(x)为周期函数.

知识梳理

1.非零的常数Tf(x+T)=f(x)非零常数T

3.2πω

例1解(1)方法一(定义法)

∵f(x)=cos2

=cos2

=cos2(x+π)+π3=

即f(x+π)=f(x),

∴函数f(x)=cos2x+π3

方法二(公式法)

∵f(x)=cos2x+π3,

又T=2πω=2π2

∴函数f(x)=cos2x+π3

(2)利用周期函数的定义,

∵f(x)=|sinx|,

∴f(x+π)=|sin(x+π)|=|sinx|=f(x),∴f(x)的最小正周期为π.

跟踪训练1(1)AD

(2)解由周期公式知T=πk2=2πk≥3,∴k≤2π3,又k

∴k的最大值为2.

例2解(1)从图象可以看出,单摆运动的周期是0.4s.

(2)若从O点算起,到曲线上的D点表示完成了一次往复运动;若从A点算起,则到曲线上的E点表示完成了一次往复运动.

(3)11=0.2+0.4×27,所以小球经过11s相