第3章　3.2.2　基本不等式的应用.docx

3.2.2基本不等式的应用

［学习目标］1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.

一、配凑法求最值

例1（1）函数y=x+4x-2（x2）的最大值是

A.4 B.5

C.-2 D.2

（2）已知实数0b2，求（2-b）（1+2b）的最大值.

反思感悟通过配凑法利用基本不等式求最值的策略

配凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用配凑法求最值应注意以下几个方面：①配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价转换；②代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；③拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.

跟踪训练1已知实数x1，则2-x-1x-1的

A.最小值为1 B.最大值为1

C.最小值为-1 D.最大值为-1

二、基本不等式的实际应用

例2甲工厂承担了某种材料的生产，并以x千克/时的速度匀速生产（为保证质量要求1≤x≤10），每小时可消耗A材料（kx2+9）千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克.

（1）设生产m千克该产品，消耗A材料y千克，试把y表示为x的函数；

（2）要使生产1000千克该产品消耗的A材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A材料最少为多少？

反思感悟利用基本不等式解决实际问题的步骤

（1）先理解题意，设变量.设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数.

（2）建立相应的函数关系式.把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题.

（3）在定义域内求出函数的最大值或最小值.

（4）正确写出答案.

跟踪训练2某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？

1.知识清单：

（1）配凑法求最值.

（2）基本不等式的实际应用.

2.方法归纳：配凑法.

3.常见误区：忽略应用基本不等式求最值的条件（一正、二定、三相等）.

1.用一段长为8cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为（）

A.9cm2 B.16cm2

C.4cm2 D.5cm2

2.已知0x1，则x（3-3x）取最大值时x的值为（）

A.13 B.1

C.23 D.

3.当x1时，则x+4x-1的最小值为

4.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y（单位：万元）与机器运转时间x（单位：年）的关系为y=-x2+18x-25（x∈N*），则当每台机器运转年时，年平均利润最大，最大值是万元.?

答案精析

例1(1)C[因为x2,

所以x-20,

则y=x+4x-2=x-2+

=-2-x

≤-2(2-x

当且仅当2-x=42-x,即x=0时,

所以函数y=x+4x-2(x2)的最大值是-2

(2)解(2-b)(1+2b)

=12(4-2b)(1+2b

≤12×[(4-2b)+

当且仅当4-2b=1+2b,

即b=34时取等号

所以(2-b)(1+2b)的最大值为258

跟踪训练1D

例2解(1)由题意,得k+9=10,

即k=1,生产m千克该产品需要的时间是mx小时

所以y=mx(kx2+9)=mx

1≤x≤10.

(2)由(1)知,生产1000千克该产品消耗的A材料为y=1000x+9x≥1000×29=6

当且仅当x=9x,即x=3时,等号成立

故工厂应选取3千克/时的生产速度,此时消耗的A材料最少,最少为6000千克.

跟踪训练2解设矩形温室的一边长为xm,与其对应的种植蔬菜的区域的一边长为(x-4)m,

则矩形温室的另一边长为800xm,与其对应的种植蔬菜的区域的另一边长为800x

由x-40,800x-20,

所以其面积S=(x-4)·800

=808-2

≤808-22

=808-160=648(m2).

当且仅当2x=3200x,即x=40时,等号成立

因此当矩形温室的两边长分别为40m,20m时,蔬菜的种植面积最大,最大种植面积是648m2.

随堂演练

1.C2.B3.54.58