第4章　4.1.2　指数幂的拓展.docx

4.1.2指数幂的拓展

［学习目标］通过对有理数指数幂amn（a0，且a≠1，m，n为整数，且n0）、实数指数幂ax（a0，且a≠1，x∈R

一、根式与分数指数幂的互化

问题被开方数的指数不能被根指数整除的根式，比如3a2，4a2，3a5

知识梳理

分数指数幂的意义

（1）规定正数的正分数指数幂的意义：amn=nam（a0，m，n∈N*，

（2）规定正数的负分数指数幂的意义：a-mn=1amn（a0，m，n∈N

（3）0的正分数指数幂为，0的负分数指数幂.?

例1把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a0.

（1）5a6；（2）

反思感悟根式与分数指数幂互化的规律

（1）根指数?分数指数的分母，被开方数（式）的指数?分数指数的分子.

（2）如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂写出.

跟踪训练1把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a0.

（1）13a2；（2

二、利用指数幂的运算性质化简和求值

知识梳理

1.对于有理数指数幂，原整数指数幂的运算性质，保持不变，即：

（1）asat=as+t（a0，s，t∈Q）；

（2）（as）t=ast（a0，s，t∈Q）；

（3）（ab）t=atbt（a0，b0，t∈Q）；

（4）拓展：①asat=as-t（a0，s，t

②abt=atbt（a0，

2.一般地，当a0且x是一个无理数时，ax是一个确定的.有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用.?

例2化简求值：

（1）2350+2-2×214-12-（

（2）254-3338+40.0625

（3）（a-2b-3）×（-4a-1b）÷（12a-4b-2c）（a0，b0，c≠0）.

反思感悟指数幂运算的常用技巧

（1）有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.

（2）负指数幂化为正指数幂的倒数.

（3）底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质.

跟踪训练2化简求值：

（1）0.02713-61412+25634+

（2）2790.5+0.1-2+21027

（3）23a÷46ab×3b3（a0，b

三、整体代换法求分数指数幂

例3已知x+x-1=7，求值：

（1）x12+x-12；（2）x

（3）x12-x-12；（4）x

反思感悟利用整体代换法求分数指数幂

（1）整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键.

（2）利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式.

x2+x-2=（x±x-1）2?2，x+x-1=（x12±x-12）2?2，x12+x-12

跟踪训练3已知9x=5，求9x-

1.知识清单：

（1）根式与分数指数幂的互化.

（2）分数指数幂的运算.

2.方法归纳：整体代换法.

3.常见误区：在运用分数指数幂的运算性质化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数.

1.（多选）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（）

A.-x=（-x）

B.6y2=y13

C.x-13=13

D.3（-x）23

2.代数式a12a12a

A.a12 B

C.a18 D

3.若10x=3，10y=4，则102x-y=.?

4.计算：0.25×12-4-4÷20-116-

答案精析

问题3a2=a23,4a2=a24=a12,

知识梳理

(3)0没有意义

例1解(1)5a6=

(2)(-a)6=a6=a

跟踪训练1解(1)13a2=1

(2)53(-a)6

知识梳理

2.实数

例2解(1)原式=1+14×23-110

(2)原式=25412

6251000014

=52-32+12+

(3)原式=-4a-2-1b-3+1÷(12a-4b-2c)

=-13a-3-(-4)b-2-(-2)c

=-13ac-1=-a

跟踪训练2解(1)原式=(0.33)13-52212+(44)34+(232)23

(2)原式=53+100+916-3+3748=100+

(3)原式=2a13÷(4a1

=12a13-

例3解(1)设m=x12+

两边平方得m2=x+x-1+2=7+2=9,

因为m0,所以m=3,

即x12+x

(2)将x+x-1=7两边平方得

x2+x-2+2=49,

所以x2+x-2=47.

(3)设n=x12-

两边平方得n2=x+x-1-2=7-2=5,

因为n∈R,所以n=±5,

即x12-x-

(4)由(1)(3)知x12+

x12-x-

所以x-x-1=(x12+x-12

=±35,

x2-x-2=(x+x-1)(x-x-1)=±215.

跟踪训练3解由9x=5,得9