第4章　4.2.2　第1课时　对数的运算性质.docx

4.2.2对数的运算性质

第1课时对数的运算性质

［学习目标］1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件.2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.

一、对数的运算性质

问题1将指数式M=ap（a0，且a≠1），N=aq（a0，且a≠1）化为对数式，结合指数运算性质MN=apaq=ap+q能否将其化为对数式？它们之间有何联系（用一个等式表示）？

问题2结合问题1，若MN=apaq=a

问题3结合问题1，若Mn=（ap）n=anp（n∈R），又能有何结果？

知识梳理

对数的运算性质

（1）loga（MN）=.?

（2）logaMN=.

（3）logaMn=.?

其中a0，a≠1，M0，N0，n∈R.

例1求下列各式的值.

（1）lne；（2）log3e+log33e；（3）lg50-lg5

反思感悟对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行.

跟踪训练1求下列各式的值：

（1）log3（27×92）；（2）lg5+lg2；（3）ln3+ln13

（4）log35-log315.

二、利用对数的运算性质化简、求值

例2计算下列各式的值：

（1）（lg5）2+2lg2-（lg2）2；

（2）lg3+2

反思感悟对数运算性质的综合应用解题思路

（1）“收”：将同底的两个对数的和（差）合并为积（商）的对数，即公式逆用.

（2）“拆”：将积（商）的对数拆成同底的两个对数的和（差），即公式的正用.

（3）“凑”：将同底数的对数凑成特殊值，如利用lg2+lg5=1，进行计算或化简.

跟踪训练2计算下列各式的值：

（1）12lg3249-43lg8

（2）lg25+23lg8+lg5×lg20+（lg2）2

三、对数运算性质的综合应用

例3已知lg2=a，lg3=b，则lg125=.

反思感悟用已知对数的值来表示所求对数的值时，要增强目标意识，把真数拆解成已知对数的真数，合理地把所求向已知条件转化.

跟踪训练3用lgx，lgy，lgz表示下列各式：

（1）lg（xyz）；（2）lgxy2z；（3）lgxy3z

1.知识清单：

（1）对数的运算性质.

（2）利用对数的运算性质化简、求值.

（3）对数运算性质的运用.

2.方法归纳：转化法.

3.常见误区：要注意对数的运算性质的结构形式，易混淆，且不可自创运算法则.

1.（多选）若a0，a≠1，x0，n∈N*，则下列各式中正确的有（）

A.（logax）n=nlogax B.logax=-loga1

C.（logax）n=logaxn D.logax

2.2log510+log50.25等于（）

A.0 B.1

C.2 D.4

3.已知lg3=a，lg7=b，则lg349的值为（）

A.a-b2 B.a-2b

C.b2a D

4.2lg4+lg91+12lg0.36+

答案精析

问题1由M=ap,N=aq得p=logaM,q=logaN.

由MN=ap+q得p+q=loga(MN).

从而得出loga(MN)=logaM+logaN(a0,a≠1,M0,N0).

问题2将指数式MN=ap-q化为对数式,得logaMN=p-q=logaM-logaN(a0,a≠1,M0,N

问题3由Mn=anp,得logaMn=np=nlogaM(a0,a≠1,M0,n∈R).

知识梳理

(1)logaM+logaN

(2)logaM-logaN(3)nlogaM

例1解(1)lne=lne12=12ln

(2)log3e+log33e=log3e·3e

(3)lg50-lg5=lg505=lg10=1

跟踪训练1解(1)方法一

log3(27×92)=log327+log392=log333+log334=3log33+4log33=3+4=7.

方法二log3(27×92)

=log3(33×34)=log337=7log33=7.

(2)lg5+lg2=lg(5×2)=lg10=1.

(3)ln3+ln13=ln3×13=ln

(4)log35-log315=log3515=log3

=log33-1=-1.

例2解(1)原式=(lg5)2+(2-lg2)lg2

=(lg5)2+(1+lg5)lg2

=(lg5)2+lg2·lg5+lg2

=(lg5+lg2)·lg5+lg2

=lg5+lg2=1.

(2)原式=lg3+

=1+45+

跟踪训练2解(1)方法一原式=12(5l