第5章　章末复习课.docx

一、求函数的定义域

1.求函数定义域的常用依据是分母不为0,偶次根式中被开方数大于或等于0,零次幂的底数不为0等;由几个式子构成的函数,则定义域是使各式子有意义的集合的交集.

2.通过基本的集合交并补运算,解简单的不等式,提升逻辑推理和数学抽象素养.

例1(1)函数f(x)=2x21-x+(2x-1)0的定义域为

A.-∞,1

C.-12,12

答案D

解析由题意知1-x0,2x-1≠0,解得x1

即f(x)的定义域是-∞,1

(2)已知函数y=f(x-1)的定义域是[-1,2],则y=f(1-3x)的定义域为()

A.-13,0

C.[0,1] D.-

答案C

解析由y=f(x-1)的定义域是[-1,2],

则x-1∈[-2,1],

即f(x)的定义域是[-2,1],

令-2≤1-3x≤1,

解得0≤x≤1,

即y=f(1-3x)的定义域为[0,1].

反思感悟求函数定义域的类型与方法

(1)已给出函数解析式:函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合.

(2)实际问题:求函数的定义域既要考虑解析式有意义,还应考虑使实际问题有意义.

(3)①若f(x)的定义域为[a,b],f(g(x))的定义域应由a≤g(x)≤b解出;

②若f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在[a,b]上的值域.

跟踪训练1(1)若函数y=f(x)的定义域是[-2,4],则函数g(x)=f(-x)的定义域是()

A.[-4,4] B.[-4,2]

C.[-4,-2] D.[2,4]

答案B

解析由-2≤-x≤4,得-4≤x≤2.

所以函数g(x)=f(-x)的定义域是[-4,2].

(2)函数y=5-x+x-1-1x2

答案{x|1≤x≤5,且x≠3}

解析解不等式组5-x≥

故函数的定义域是{x|1≤x≤5,且x≠3}.

二、求函数的解析式

1.求函数的解析式最常用的方法是换元法和待定系数法.

2.掌握常见的基本初等函数的类型和求解析式的方法,提升数学运算和逻辑推理素养.

例2(1)函数f(x)在R上为奇函数,当x0时,f(x)=x+1,则f(x)的解析式为.?

答案f(x)=x

解析设x0,则-x0,

∴f(-x)=-x+1

∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),

即-f(x)=-x+1,∴f(x)=--x

∵f(x)在R上是奇函数,∴f(0)=0,

∴f(x)=x

(2)已知f1+xx=1+x2x2+1x,则f

答案f(x)=x2-x+1,x∈(-∞,1)∪(1,+∞)

解析令t=1+xx=

则x=1t-1,t

把x=1t-1代入f1+xx=

得f(t)=1+1t

=(t-1)2+1+(t-1)

=t2-t+1.

所以所求函数的解析式为f(x)=x2-x+1,x∈(-∞,1)∪(1,+∞).

反思感悟求函数解析式的题型与相应的解法

(1)已知形如f(g(x))的解析式求f(x)的解析式,使用换元法或配凑法.

(2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数),使用待定系数法.

(3)含f(x)与f(-x)或f(x)与f1x,使用解方程组法

(4)已知一个区间的解析式,求另一个区间的解析式,可用奇偶性转移法.

跟踪训练2二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a≠0)满足条件:

①当x∈R时,f(x)的图象关于直线x=-1对称;

②f(1)=1;

③f(x)在R上的最小值为0.

求函数f(x)的解析式.

解因为f(x)图象的对称轴为直线x=-1,

所以-b2a=-1,即b=2

又f(1)=1,即a+b+c=1,

由条件③知,a0,且4ac

即b2=4ac,

由以上可求得a=14,b=12,c=

所以f(x)=14x2+12x+

三、函数性质的综合应用

1.函数的性质主要有定义域、值域、单调性和奇偶性,利用函数的单调性和奇偶性求值、比较大小、解不等式是重点考查内容,解不等式时经常结合图象,要注意勿漏定义域的影响.

2.借助单调性和奇偶性的判断和证明及简单的综合运用,提升数学抽象、逻辑推理和直观想象素养.

例3已知函数f(x)的定义域是[-2,2],若对于任意x,y∈[-2,2],都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x0时,有f(x)0.令g(x)=f(x+1)+fx2

(1)求g(x)的定义域;

(2)解不等式g(x)0.

解(1)因为f(x)的定义域为[-2,2],

所以有-2

即-3≤x≤1,-4≤

所以g(x)的定义域为[-3,1].

(2)令x=y=0,可得f(0)=f(0)+f(0),

即f(0)=0,

令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x),

即f(-x)=-f(x),