第5章　§5.4　第2课时　奇偶性的应用.docx

第2课时奇偶性的应用

［学习目标］1.掌握用奇偶性求解析式的方法.2.理解奇偶性对单调性的影响并能用以比较大小、求最值和解不等式.

一、根据奇偶性求函数的解析式

知识梳理

用奇偶性求解析式

如果已知函数的奇偶性和一个区间［a，b］上的解析式，求关于原点对称的区间［-b，-a］上的解析式，其解决思路为：

（1）“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设.

（2）转化到已知区间上，代入已知的解析式.

（3）利用f（x）的奇偶性写出-f（-x）或f（-x），从而解出f（x）.

例1（1）若f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=x2-2x+3，求f（x）的解析式.

延伸探究在本例（1）中，把条件“f（x）是定义在R上的奇函数”改为“f（x）是定义在R上的偶函数”，其余不变，求当x0时，f（x）的解析式.

（2）设f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）+g（x）=1x-1，求函数f（x），g（x

反思感悟（1）已知某区间上函数的解析式，求对称区间上的函数的解析式，应设这个区间上的变量为x，然后把x转化为-x，此时-x成了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式.

（2）已知函数f（x），g（x）组合运算与奇偶性，则把x换为-x，构造方程组求解.

提醒：若函数f（x）的定义域内含0且为奇函数，则必有f（0）=0，但若为偶函数，未必有f（0）=0.

跟踪训练1（1）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=-x2-x，求函数f（x）的解析式.

（2）已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）=x2+x-1，求当x∈（-∞，0）时，f（x）的解析式.

二、利用奇偶性与单调性比较大小

问题想一想奇函数与偶函数的图象特点，如果奇函数在（-2，-1）上单调递减，那么它在（1，2）上的单调性如何？如果偶函数在（-2，-1）上单调递减，那么它在（1，2）上的单调性如何？

知识梳理

函数的奇偶性与单调性

（1）若f（x）为奇函数且在区间［a，b］（ab）上单调递增，则f（x）在［-b，-a］上，即在对称区间上单调性一致（相同）.?

（2）若f（x）为偶函数且在区间［a，b］（ab）上单调递增，则f（x）在［-b，-a］上，即在对称区间上单调性相反.?

例2设函数f（x）的定义域为R，对于任意实数x总有f（-x）=f（x），当x∈（-∞，0］时，f（x）单调递减，则f（-2），f（π），f（-3）的大小关系是（）

A.f（π）f（-3）f（-2）

B.f（π）f（-2）f（-3）

C.f（π）f（-3）f（-2）

D.f（π）f（-2）f（-3）

反思感悟比较大小的求解策略，看自变量是否在同一单调区间上

（1）在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小.

（2）不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.

跟踪训练2已知f（x）是R上的奇函数，且f（x）在（0，+∞）上单调递减，在下列不等式中，一定成立的是（）

A.f（-1）f（-2） B.f（0）f（1）

C.f（1）f（2） D.f（-2）f（1）

三、利用单调性与奇偶性解不等式

例3设定义在［-2，2］上的奇函数f（x）在区间［0，2］上单调递减，若f（1-m）f（m），求实数m的取值范围.

延伸探究在本例中，把条件“奇函数f（x）在区间［0，2］上单调递减”改为“偶函数f（x）在区间［-2，0］上单调递减”，其余不变，求实数m的取值范围.

反思感悟利用函数奇偶性与单调性解不等式的步骤

（1）将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系；

（2）由已知或利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的对应法则“f”，转化为解不等式（组）的问题.

提醒：（1）在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有写成“f（x）”的形式时，需转化为“f（x）”的形式，如0=f（1），f（x-1）0，则f（x-1）f（1），并注意偶函数f（x）中结论f（x）=f（|x|）的灵活运用.

（2）列不等式（组）时不要忘掉函数定义域.

跟踪训练3已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（-∞，0）上单调递增.若f（-3）=0，则f（x）x0

1.知识清单：

（1）根据奇偶性求函数的解析式.

（2）利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式.

2.方法归纳：转化法、数形结合法.

3.常见误区：解不等式易忽视函数的定义域.

1.已知奇函数f（x）在（-∞，0）上单调递增，则（）

A.f（1）f（2） B.f（1）f（2）

C.f（1）=f（2） D.以上都有可能

2.设