第6章　培优课　与指数函数、对数函数有关的复合函数.docx

培优课与指数函数、对数函数有关的复合函数

与指数函数、对数函数有关的复合函数，主要是指数函数、对数函数与一次函数、二次函数复合成的新函数，求新函数的单调性、奇偶性、最值、值域等问题，一般采用换元思想，把复杂的复合函数化成简单的初等函数.

一、复合函数单调性的判断与应用

例1(1)讨论函数f(x)=loga(3x2-2x-1)的单调性.

(2)已知函数y=log13(x2-ax+a)在区间(-∞，2)上是增函数，求实数a

反思感悟(1)形如函数y=logaf(x)的单调性判断

首先要求定义域，在定义域内，当a1时，y=logaf(x)的单调性与y=f(x)的单调性保持一致；当0a1时，y=logaf(x)的单调性与y=f(x)的单调性相反.

(2)已知复合函数的单调性求参数的取值范围要注意

①函数的定义域.

②遵循“同增异减”原则.

③区别“在区间［a，b］上单调递增(减)”与“增(减)区间是［a，b］”.

(3)对数型复合函数一般可分为两类：一类是对数函数为外函数，即y=logaf(x)(a0，a≠1)型；另一类是对数函数为内函数，即y=f(logax)(a0，a≠1)型.

跟踪训练1(1)函数y=log13(-x2+2x+3)的增区间是(

A.(-1，1］ B.(-∞，1)

C.［1，3) D.(1，+∞)

(2)已知函数f(x)=e|x-a|(a为常数)，若f(x)在区间(-∞，1］上单调递减，则a的取值范围是.?

二、复合函数的值域与最值问题

例2(1)求函数y=log12(3+2x-x2)

(2)求函数y=(log12x)2-12log12x+5在区间［

反思感悟求复合函数的最值

(1)首先恰当地把复合函数分解为两个或多个基本函数.

(2)然后按照“由内到外”的原则，利用函数的性质求最值.

跟踪训练2(1)函数y=21-x2

(2)函数f(x)=log3(x2+2x+4)的最小值为.?

三、判断复合函数的奇偶性

例3(1)判断函数f(x)=loga(x+x2+1)(a0且a≠1)

(2)若函数f(x)=2x+a2x为偶函数，则a=

反思感悟本题考查函数奇偶性的应用，以及不等式恒成立问题，将恒成立问题转化为最值问题是关键，另外要注意对数的真数部分也要恒大于零.

跟踪训练3(1)若a0且a≠1，则函数f(x)=xax-1+x2是

A.奇函数

B.偶函数

C.不是奇函数也不是偶函数

D.奇偶性与a的具体取值有关

(2)已知函数f(x)=lnkx-1x+1是奇函数，则k

1.知识清单：

(1)指数、对数型函数的单调性.

(2)指数、对数型函数的值域和最值问题.

(3)指数、对数型函数的奇偶性.

2.方法归纳：换元法.

3.常见误区：求对数型函数的单调性易忽视定义域.

1.函数y=121-x的增区间为(

A.(-∞，+∞) B.(0，+∞)

C.(1，+∞) D.(0，1)

2.(多选)已知函数f(x)=lnx+ln(2-x)，则()

A.f(x)在(0，1)上单调递增

B.f(x)在(0，1)上单调递减

C.f(x)的图象关于直线x=1对称

D.f(x)的图象关于点(1，0)对称

3.函数y=12-x

4.函数f(x)=log2x4·log2x2(1≤x≤4)的值域为

答案精析

例1(1)解由3x2-2x-10得函数的定义域为xx1或

则当a1时,若x1,则u=3x2-2x-1是增函数,

∴f(x)=loga(3x2-2x-1)是增函数;

若x-13,则u=3x2-2x-1是减函数

∴f(x)=loga(3x2-2x-1)是减函数.

当0a1时,若x1,则f(x)=loga(3x2-2x-1)是减函数;若x-13,则f(x)=loga(3x2-2x-1)是增函数

综上所述,当a1时,函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,在-∞,-13上单调递减;当0a1时,函数f(x)在(1,+∞)上单调递减,

(2)解令g(x)=x2-ax+a,

则g(x)在-∞,

∵013

∴y=log13g(x)是关于g(x)

而已知复合函数y=log13(x2-ax+a)在区间(-∞,2)

∴只要g(x)在(-∞,2)上单调递减,

且g(x)0在x∈(-∞,2)上恒成立,

即2

∴22≤a≤22+2,

故实数a的取值范围是[22,22+2].

跟踪训练1(1)C[由题意得,要使函数y=log13(-x2+2x+3)有意义,则要满足-x2+2

解得-1x3,

即函数的定义域为(-1,3),

令g(x)=-x2+2x+3,则g(x)在区间(-1,1]上单调递增,在区间[1,3)上单调递减,

又由函数y=log13g(x)在定义域上单调递减,所以y=log13(-x2+2x+3)