第7章　7.2.3　第1课时　诱导公式(一).docx

7.2.3三角函数的诱导公式

第1课时诱导公式(一)

［学习目标］1.借助圆的对称性理解诱导公式一、二、三、四的推导过程.2.掌握诱导公式一~四并能运用诱导公式进行求值、化简与证明.

一、诱导公式一~四

问题1终边相同的角的三角函数值有何关系？

问题2观察如图，思考我们是如何定义三角函数的？

问题3知道了终边与单位圆的交点坐标，你能根据三角函数的定义探究角α与角π+α的三角函数值之间的关系吗？

知识梳理

公式一~四

终边

关系

图示

公式

公

式

一

角2kπ

+α与角α的终边相同

sin(α+2kπ)

=sinα，

cos(α+2kπ)

=cosα，

tan(α+2kπ)

=tanα，

其中，k∈Z

公

式

二

角-α与角α的终边关于轴对称?

sin(-α)

=，?

cos(-α)

=，?

tan(-α)

=?

公

式

三

角π-α与角α的终边关于轴对称?

sin(π-α)

=，?

cos(π-α)

=，?

tan(π-α)

=?

公

式

四

角π+α与角α的终边关于对称?

sin(π+α)

=，?

cos(π+α)

=，?

tan(π+α)

=?

二、给角(值)求值

角度1给角求值

例1求下列三角函数值：

(1)cos(-480°)+sin210°；

(2)sin-8π3·cos23π6

反思感悟利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤

(1)“负化正”——用公式一或二来转化.

(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角.

(3)“小化锐”——用公式三或四将大于90°的角转化为锐角.

(4)“锐求值”——得到锐角三角函数后求值.

角度2给值求值

例2(1)(多选)已知cos(π-α)=-35，则sin(-2π-α)的值是()

A.45 B.-45 C.-3

(2)已知cosπ6-α=33，则cos

延伸探究

1.若本例(2)中的条件不变，如何求cosα-

2.若本例(2)条件不变，求cos5π6+α-sin2

反思感悟解决条件求值问题的策略

(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系，用已知角表示待求角.

(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.

跟踪训练1(1)sin5π6+tan7π4-cos-2π

(2)已知sin(π+α)=45，且α是第四象限角，则cos(α-2π)的值是()

A.-35 B.35 C.±3

三、利用公式进行化简

例3化简：(1)cos(-α

(2)sin(1440°+α

反思感悟三角函数式化简的常用方法

(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数.

(2)切化弦：一般需将表达式中的正切函数转化为正弦、余弦函数.

(3)注意“1”的代换：1=sin2α+cos2α=tanπ4

跟踪训练2tan(5π+α)=m，则sin(α-3π)+cos(π-α)sin(-

A.m+1m-1 B.

1.知识清单：

(1)特殊关系角的终边对称性.

(2)诱导公式一~四及其应用.

2.方法归纳：函数名不变，符号看象限.

3.常见误区：诱导公式中函数前面符号的确定.

1.sin780°+tan240°的值是()

A.332

C.12+3 D.-12

2.已知sin(π+α)=35，且α是第四象限角，那么cos(α-π)的值是()

A.45 B.-45 C.±4

3.化简：cos(3π-α)sin(-π+α)·tan(2π-

4.cos(-585°)sin495°+sin(-570°)的值等于

答案精析

问题1由三角函数的定义,可以知道,终边相同的角的同一三角函数的值相等,即sin(α+2kπ)=sinα,cos(α+2kπ)=cosα,tan(α+2kπ)=tanα,其中k∈Z.

问题2三角函数的定义核心是角的终边与单位圆的交点的坐标,终边相同的角的三角函数值相等.由图象可知,点P1与P2关于原点对称,点P1与P2两点的横坐标、纵坐标分别互为相反数,以OP2为终边的角β可以表示成β=(π+α)+2kπ,k∈Z.

问题3设角α的终边与单位圆交于点P1(x,y),则角π+α的终边与单位圆的交点为P2(-x,-y),根据三角函数的定义可知,y=sinα,x=cosα,yx=tanα(x≠0),sin(π+α)=-y=-sinα,cos(π+α)=-x=-cosα,tan(π+α)=yx

知识梳理

x-sinαcosα-tanαysinα-cosα-tanα原点

-sinα-cosαtanα

例1