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7.2.3三角函数的诱导公式
第一课时诱导公式一、二、三、四
课标要求1.了解三角函数的诱导公式的意义与作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.
一、诱导公式一
1.思考取角α分别为30°,390°,-330°,它们的三角函数值是什么关系?为什么?
提示它们的同名三角函数值相等,因为三个角的终边相同.
2.填空诱导公式一
终边相同的角的同一三角函数值相等.
sin(α+2kπ)=sin__α(k∈Z),
cos(α+2kπ)=cos__α(k∈Z),
tan(α+2kπ)=tan__α(k∈Z).
温馨提醒其作用是把绝对值大于2π的任意角的三角函数值转化为[0,2π)内的角的三角函数值.
3.做一做求下列各三角函数值:
(1)cos765°;(2)tan750°.
解(1)cos765°=cos(2×360°+45°)=cos45°=eq\f(\r(2),2).
(2)tan750°=tan(2×360°+30°)=tan30°=eq\f(\r(3),3).
二、诱导公式二、三、四
1.思考观察单位圆及角的终边,回答下面的问题:
(1)角α与角π+α,-α,π-α的终边有怎样的对称关系?
提示角α与角π+α的终边关于原点对称.
角α与角-α的终边关于x轴对称.
角α与角π-α的终边关于y轴对称.
(2)角α,角π+α,角-α,角π-α的终边与单位圆的交点分别为P,P1,P2,P3,则P与P1,P与P2,P与P3的坐标有怎样的关系?
提示P与P1的横坐标、纵坐标都互为相反数,P与P2的横坐标相同,纵坐标互为相反数,P与P3的横坐标互为相反数,纵坐标相同.
2.填空(1)诱导公式二
终边关系
图示
角-α与角α的终边关于x轴对称
公式
sin(-α)=-sin__α,cos(-α)=cos__α,tan(-α)=-tan__α
(2)诱导公式三
终边关系
图示
角π-α与角α的终边关于y轴对称
公式
sin(π-α)=sin__α,cos(π-α)=-cos__α,tan(π-α)=-tan__α
(3)诱导公式四
终边关系
图示
角π+α与角α的终边关于原点对称
公式
sin(π+α)=-sin__α,cos(π+α)=-cos__α,tan(π+α)=tan__α
温馨提醒公式一、二、三、四都叫作诱导公式,它们可概括如下:
(1)记忆方法:2kπ+α(k∈Z),-α,π±α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号,可以简单地说成“函数名不变,符号看象限”.
(2)解释:“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名;“符号”是指等号右边是正号还是负号;“看象限”是指假设α是锐角,要看原三角函数值是取正值还是负值,如sin(π+α),若把α看成锐角,则π+α是第三象限角,故sin(π+α)=-sinα.
3.做一做(1)思考辨析,判断正误
①诱导公式中角α是任意角.()
②sin(α-π)=sinα.()
③coseq\f(4π,3)=-eq\f(1,2).()
提示①×正、余弦函数的诱导公式中,α为任意角,但是正切函数的诱导公式中,α的取值必须使公式中角的正切值有意义.
②×sin(α-π)=sin[-(π-α)]=-sin(π-α)=-sinα.
③√coseq\f(4π,3)=coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π+\f(π,3)))=-coseq\f(π,3)=-eq\f(1,2).
(2)已知cos(π+θ)=eq\f(\r(3),6),则cosθ=()
A.eq\f(\r(3),6) B.-eq\f(\r(3),6)
C.eq\f(\r(33),6) D.-eq\f(\r(33),6)
答案B
解析cos(π+θ)=-cosθ=eq\f(\r(3),6),
所以cosθ=-eq\f(\r(3),6).
(3)tan225°=()
A.1 B.-1
C.eq\r(2) D.-eq\r(2)
答案A
解析tan225°=tan(180°+45°)=tan45°=1.
题型一利用诱导公式求三角函数值
例1(1)sin780°=________;cos(-2040°)=________;
(2)计算:sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(31π,6)))-coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(10π,3)))=________.
答案(1)eq\f(\r(3),2)-eq\f(
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