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第3课时正弦函数、余弦函数的性质(二)

［学习目标］1.掌握正弦函数、余弦函数的单调区间.2.会比较三角函数值的大小.3.掌握正弦函数、余弦函数的对称性.

一、正弦函数、余弦函数的单调性

问题1观察正弦函数y=sinx的函数图象，你能写出y=sinx在x∈-π

知识梳理

正弦函数、余弦函数的单调性

正弦函数

余弦函数

图

象

单

调

性

在每一个闭区间

?

(k∈Z)上都单调递增，

在每一个闭区间

?

(k∈Z)上都单调递减

在每一个闭区间

(k∈Z)上都单调递增，?

在每一个闭区间

?

(k∈Z)上都单调递减

例1求函数y=2sinx-π

延伸探究

1.求函数f(x)=2sinx-π3，x∈［0，

2.求函数y=sinπ3-

反思感悟求正弦函数、余弦函数的单调区间的策略

(1)结合正弦函数、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间.

(2)在求形如y=Asin(ωx+φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx+φ”看作一个整体“z”，即通过求y=Asinz的单调区间而求出原函数的单调区间.求形如y=Acos(ωx+φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω0)的函数的单调区间同上.

跟踪训练1求函数y=2cos2x-

二、利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小

例2比较大小：

(1)sin220°与sin230°；

(2)sin-20π7与cos

反思感悟比较三角函数值大小的步骤

(1)异名函数化为同名函数.

(2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上.

(3)利用函数的单调性比较大小.

跟踪训练2比较大小：

(1)cos-7π8与cos

(2)cos1与sin2.

三、正弦函数、余弦函数的对称性

问题2正弦函数y=sinx是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，那么对称中心的坐标是多少？

问题3正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，其对称轴方程是什么？

问题4类比正弦函数的对称轴和对称中心，你能写出余弦函数的对称轴和对称中心吗？

知识梳理

正弦函数、余弦函数的对称性

正弦函数

余弦函数

图象

对称轴

x=kπ+π2，k∈

x=kπ，k∈Z

对称

中心

(kπ，0)，k∈Z

kπ+π2，

例3函数y=sin2x+π3的图象的对称轴是直线

反思感悟正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点，即此时的正弦值、余弦值取最大值或最小值；正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定是正弦曲线、余弦曲线与x轴的交点，即此时的正弦值、余弦值为0.

跟踪训练3求函数y=2sin-2x+

1.知识清单：

(1)正弦函数、余弦函数的单调性.

(2)利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小.

(3)正弦函数、余弦函数的对称性.

2.方法归纳：整体代换、换元法.

3.常见误区：单调区间漏写k∈Z.

1.(多选)正弦函数y=sinx，x∈R的图象的一条对称轴是()

A.y轴 B.直线x=-π

C.直线x=π2 D.直线x

2.函数y=-cosx在区间-π2，π2

A.单调递增 B.单调递减

C.先减后增 D.先增后减

3.下列关系式中正确的是()

A.sin11°cos10°sin168°

B.sin168°sin11°cos10°

C.sin11°sin168°cos10°

D.sin168°cos10°sin11°

4.函数f(x)=2cos2x-π

答案精析

问题1

由上图我们发现,区间-π2,3π2正好是函数的一个周期,其中在区间-π

知识梳理

2kπ-

[2kπ-π,2kπ][2kπ,2kπ+π]

例1解令z=x-π3,则y=2sin

∵z=x-π3是增函数

∴y=2sinz是增(减)函数时,

函数y=2sinx-π3也是增(减

由z∈2kπ-π2,2

得x-π3∈

(k∈Z),

即x∈2kπ-π6,2

故函数y=2sinx-

2kπ-π6,2k

同理可求函数y=2sinx-π3的减区间为2kπ+5π

延伸探究

1.解由例题知f(x)=2sinx-π3的增区间为2kπ-

又∵x∈[0,2π],

∴0≤x≤5π6或11π6≤x

同理函数f(x)=2sinx-π3,x∈[0,2π]

∴函数f(x)=2sinx-π3,x∈[0,2π]的增区间为0,5π6,

2.解y=sinπ3-x

令z=x-π3

而y=-sinz的增区间是

π2+2kπ,3π

∴令π2+2kπ≤x-π3≤3π2+2kπ,k

得5π6+2kπ≤x≤11π6+2kπ,k∈

∴函数y=sinπ3

5π6+2k