第8章　8.1.2　用二分法求方程的近似解.docx

8.1.2用二分法求方程的近似解

［学习目标］1.了解二分法的原理及其适用条件.2.掌握二分法求函数零点的步骤.3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想.

一、二分法的理解

问题1有16个大小、颜色相同的金币，其中有15个金币是真的，有一个质量稍轻的是假的.用天平称几次一定可以找出这个稍轻的假币？

知识梳理

二分法：对于在区间［a，b］上图象连续不断且f(a)f(b)0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

例1(1)(多选)下列函数图象与x轴均有交点，能用二分法求函数零点近似值的是()

(2)用二分法求方程2x+3x-7=0在区间(1，3)内的近似解，取区间的中点为x0=2，那么下一个有根的区间是.?

反思感悟运用二分法求函数的零点应具备的条件

(1)函数图象在零点附近连续不断.

(2)在该零点左右函数值异号.

只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点.

跟踪训练1已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()

A.4，4 B.3，4

C.5，4 D.4，3

二、用二分法求函数零点的近似值

问题2你能想办法求函数f(x)=x3-3的零点或零点的近似值吗？

例2用二分法求函数f(x)=x3-x-1在区间(1，1.5)内的一个零点(精确到0.1).

反思感悟用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则

(1)依据函数图象估计零点所在的初始区间(m，n)(一般采用估计值的方法完成).

(2)取区间端点的平均数c，计算f(c)，确定有解区间是(m，c)还是(c，n)，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合要求，终止计算，得到函数零点的近似值.

跟踪训练2用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个零点，其参考数据如下：

f(1.6000)

≈0.200

f(1.5875)

≈0.133

f(1.5750)

≈0.067

f(1.5625)

≈0.003

f(1.55625)

≈-0.029

f(1.5500)

≈-0.060

据此数据，可得f(x)=3x-x-4的一个零点的近似值(精确到0.01)为.?

三、用二分法求方程的近似解

问题3如何求方程x3-3=0的近似解呢？

知识梳理

用二分法求方程的一个近似解的操作流程

步骤1方程f(x)=0的解

步骤2函数f(x)的零点

步骤3确定f(x)的零点x0∈?

步骤4取a，b的平均数?

步骤5确定f(x)的零点x0∈?

步骤6an，bn的近似值都为m

步骤7方程的一个近似解为m

例3用二分法求方程2x3+3x-3=0的一个正实数近似解(精确到0.1).

反思感悟利用二分法求方程的近似解的步骤

(1)构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常取区间(n，n+1)，n∈Z.

(2)利用二分法求出满足要求的方程的解所在的区间M.

(3)区间M内满足要求的唯一近似值就是方程的解.

跟踪训练3用二分法求方程x3-3x2-9x+1=0的一个负实数近似解(精确到0.1).

1.知识清单：

(1)二分法的定义.

(2)利用二分法求函数的零点、方程的近似解.

2.方法归纳：化归、逼近.

3.常见误区：二分法并不适用于所有零点，只能求函数的变号零点.

1.观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是()

2.用二分法求函数f(x)=x3+5的零点可以取的初始区间是()

A.(-2，-1) B.(-1，0)

C.(0，1) D.(1，2)

3.用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时，第一次计算，得f(0)0，f(0.5)0，第二次应计算f(x1)，则x1等于()

A.1 B.-1

C.0.25 D.0.75

4.已知函数f(x)=x3-2x-2，f(1)f(2)0，用二分法逐次计算时，若x0是［1，2］的中点，则f(x0)=.?

答案精析

问题14次.

第一次,两端各放8个金币,高的那一端一定有假币;

第二次,两端各放4个金币,高的那一端一定有假币;

第三次,两端各放2个金币,高的那一端一定有假币;

第四次,两端各放1个金币,高的那一端一定是假币.

再比如:有8个质量不均匀的小球,只有一个比别的都重,找出最重的小球的问题;有一段电路出现故障的问题;检修下水道堵塞的问题;包括刚才让大家猜测手机价格的问题等等这些都可以用上述方法解决,在这个过程中,体现出了“一分为二,逐步逼近”的思想,这就是我们今天要学习的“二分法”.

例1(1)ABC[由二分法的定义,知函数f(x)在区间[a,b]