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黑龙江高三模拟考试数学(理)试卷附答案解析
班级:___________姓名:___________考号:___________
一、单选题
1.已知集合和,若,则实数的值构成的集合是(????)
A. B.
C. D.
2.已知,则(????)
A. B. C. D.
3.如图,在中点为线段上靠近点的三等分点,点为线段上靠近点的三等分点,则(????)
A. B. C. D.
4.若,平面内一点满足,则的最大值是(????)
A. B. C. D.
5.2021年5月30日清晨5时01分,天舟二号货运飞船在成功发射约8小时后,与中国空间站天和核心舱完成自主快速交接.如果下次执行空间站的任务由3名航天员承担,需要在3名女性航天员和3名男性航天员中选择,则选出的3名航天员中既有男性航天员又有女性航天员的概率为(????)
A. B. C. D.
6.已知,点在上,且,设,则等于
A. B.3 C. D.
7.已知函数在区间上单调递增,则的取值范围为(????)
A. B. C. D.
8.已知,和,则(????).
A. B. C. D.
二、多选题
9.2021年是中国共产党建党100周年,为全面贯彻党的教育方针,提高学生的审美水平和人文素养,促进学生全面发展.某学校高一年级举办了班级合唱活动.现从全校学生中随机抽取部分学生,并邀请他们为此次活动评分(单位:分,满分100分),对评分进行整理,得到如图所示的频率分布直方图,则下列结论正确的是(????)
A.
B.若该学校有3000名学生参与了评分,则估计评分超过90分的学生人数为600
C.学生评分的众数的估计值为85
D.学生评分的中位数的估计值为83
10.已知直线,圆,则下列选项中正确的是(????)
A.圆心的轨迹方程为
B.时直线被圆截得的弦长的最小值为
C.若直线被圆截得的弦长为定值,则
D.时若直线与圆相切,则
11.如图,在菱形ABCD中AB=2,,将沿BD折起,使A到,且点不落在底面BCD内,若点M为线段的中点,则在翻折过程中以下命题中正确的是(????)
A.四面体的体积的最大值为1
B.存在某一位置,使得BM⊥CD
C.异面直线BM与所成的角为定值
D.当二面角的余弦值为时
12.已知函数的定义域为,且,当时,则下列说法正确的是(????)
A.
B.函数在上是增函数
C.不等式的解集为
D.
三、填空题
13.展开式中的常数项为________.
14.设函数,对任意,不等式恒成立,则正数的取值范围是_____.
15.若曲线过点的切线恒在函数的图象的上方,则实数a的取值范围是__________.
四、双空题
16.甲、乙、丙三位教师分别在某校的高一、高二、高三这三个年级教不同的学科:语文、数学、外语,已知:
①甲不在高一工作,乙不在高二工作;
②在高一工作的教师不教外语学科;
③在高二工作的教师教语文学科;
④乙不教数学学科.
可以判断乙工作的年级和所教的学科分别是______、_____.
五、解答题
17.如图,在四棱锥中底面为长方形,和,侧面底面,是正三角形,是的中点,是的中点.
(1)求证:平面;
(2)求二面角的正弦值.
18.已知数列的前项和为,设是首项为1,公差为1的等差数列
(1)求的通项公式;
(2)设,求数列的前项的和.
19.已知△ABC中角A,B,C的对边分别为a,b,c,设△ABC外接圆的半径为R,且.
(1)求角A的大小;
(2)若D为BC边上的点,CD=1,求.
20.某射手每次射击击中目标的概率是,且各次射击的结果互不影响
(1)假设这名射手射击5次,求恰有2次击中目标的概率;
(2)假设这名射手射击5次,求有3次连续击中目标另外2次末击中目标的概率;
(3)假设这名射手射击3次,每次射击,击中目标得1分,末击中目标得0分,在3次射击中若有2次连续击中而另外1次末击中则额外加1分;若3次全击中则额外加3分,记为射手射击3次后的总的分数,求的分布列及期望.
21.动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数.
(1)求动点的轨迹方程;
(2)直线与的轨迹交于A,B两点,AB的中点坐标为,求直线的方程.
22.已知函数.
(Ⅰ)当时函数存在极值,求实数的取值范围;
(Ⅱ)当时函数在上单调递减,求实数的取值范围;
(Ⅲ)求证:.
参考答案与解析
1.A
【分析】解出集合,分、两种情况讨论,在时直接验证;在时可得出关于实数的等式,即可解得实数的值.综合可得出结果.
【详解】因为
当时,合乎题意;
当时则,可得或,解得或.
综上所述,实数的取值集合为.
故选:A.
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