第8章　8.2.2　函数的实际应用.docx

8.2.2函数的实际应用

[学习目标]1.能利用已知函数模型求解实际问题.2.能根据实际需要构建指数型函数或对数型函数模型解决实际问题.

导语

我们知道,函数是描述客观世界变化规律的数学模型,不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画,当面临一个实际问题时,该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢?

一、实际问题中的函数模型建立

问题1你能写出几种函数模型?

提示

函数模型

函数解析式

一次函数模型

f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)

反比例函数模型

f(x)=kx+b(k,b为常数且k

二次函数模型

f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)

指数型函数模型

f(x)=bax+c(a,b,c为常数,b≠0,a0且a≠1)

对数型函数模型

f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,b≠0,a0且a≠1)

幂函数型模型

f(x)=axn+b(a,b为常数,a≠0)

问题2应用函数模型解决问题的基本过程是什么?

提示(1)审题——弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择模型.

(2)建模——将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识建立相应的数学模型.

(3)求模——求解数学模型,得出数学模型.

(4)还原——将数学结论还原为实际问题.

例1某地规划对一片面积为a的沙漠进行治理,每年治理面积占上一年底沙漠面积的百分比均为x(0x1).当治理面积达到这片沙漠面积的一半时,正好用了10年时间.

(1)求x的值;

(2)若今年初这片沙漠面积为原沙漠面积的22,按照规划至少还需多少年,使剩余沙漠面积至多为原沙漠面积的1

解(1)由于每年治理面积占上一年底沙漠面积的百分比均为x(0x1),

则a(1-x)10=12a,即(1-x)10=1

解得x=1-12

(2)设从今年开始,还需治理n年,

则n年后剩余面积为22a(1-x)n

令22a(1-x)n≤14a,即(1-x)n≤

12n10≤123

解得n≥15,

故至少还需治理15年.

反思感悟与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向,这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识,解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题意,只有吃透题意,才能将实际问题转化为数学模型进行解答.

跟踪训练1某化工厂生产一种溶液的成品,生产过程的最后工序是过滤溶液中的杂质,过滤初期溶液含杂质2%,每经过一次过滤均可使溶液杂质含量减少一半,记过滤次数为x(x∈N*),此时溶液杂质含量为y,

(1)分别求出过滤1次、过滤2次后的溶液杂质含量y1,y2的值;

(2)写出y与x的函数关系式(要求写出定义域);

(3)按市场要求,出厂成品杂质含量不能超过0.02%,问至少经过几次过滤才能使产品达到市场要求?(参考数据:lg2≈0.301)

解(1)过滤1次后,

溶液杂质含量y1=150×12=0

过滤2次后,溶液杂质含量

y2=150×12×12=0.005=0

(2)因为每经过一次过滤均可使溶液杂质含量减少一半,

所以过滤次数为x(x∈N*)时溶液杂质含量

y=2%×1-12x=150×12x

(3)设至少应过滤x次才能使产品达到市场要求,则150×12x≤

即12x≤1100,所以x≥lg1100

又x∈N*,所以x≥7,

即至少应过滤7次才能使产品达到市场要求.

二、实际问题中的函数模型选择

例2近年来,面临职业选择时,越来越多的青年人选择通过创业的方式实现人生价值.其中,某位大学生带领其团队自主创业,通过直播带货的方式售卖特色农产品,下面为2020~2022年农产品销售量的统计表:

年份

2020

2021

2022

销售量/万斤

41

55

83

结合国家支持大学生创业政策和农产品市场需求情况,该大学生提出了2023年销售115万斤特色农产品的目标,经过创业团队所有成员的共同努力,2023年实际销售123万斤,超额完成预定目标.

(1)将2020,2021,2022,2023年分别定义为第1年、第2年、第3年、第4年,现有两个函数模型:二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0)和幂函数模型g(x)=kx3+mx+n(k≠0).请你通过计算分析确定,选用哪个函数模型能更好地反映该创业团队农产品的年销售量y与第x年的关系;

(2)依照目前的形势分析,你能否预测出该创业团队在2024年度的农产品销售量?

解(1)若选择二次函数模型,

依题意,将数据分别代入

f(x)=ax2+bx+c(a≠0),

得a+b

所以f(x)=7x2-7x+41.

将x=4代入f(x),

得f(4)=7×42-7×4+41=125,

该结果与2023年实际销售量的误差为

125-123=2(万斤).

若选择幂函数模型,

依题意,将数据分别代入

g(x)=kx