第8章　章末复习课.docx

一、函数的零点

1.在函数零点存在定理中,要注意三点:

(1)函数是连续的;(2)定理不可逆;(3)至少存在一个零点.

2.方程f(x)=g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标,也是函数y=f(x)-g(x)的图象与x轴交点的横坐标.

3.解决函数零点的求解与判定,要认真领会零点的概念及判断方法,同时重点提升数学抽象和直观想象的核心素养.

例1已知函数f(x)=ex+a,x≤0,3x-1,x0(a∈R

A.(-∞,-1) B.(-∞,1)

C.(-1,0) D.[-1,0)

答案D

解析由3x-1=0可得x=130,函数在R上有两个零点,可转化为ex+a=0在x≤0时有一个实根,即函数y=-a与y=ex的图象在(-∞,0]上有一个交点,当x≤0时,ex∈(0,1],所以0-a≤1,即-1≤a0

反思感悟判断函数存在零点的方法

(1)方程法:若方程f(x)=0的解可求或能判断解的个数,可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判断零点的个数.

(2)图象法:由f(x)=g(x)-h(x)=0,得g(x)=h(x),在同一平面直角坐标系中作出y1=g(x)和y2=h(x)的图象,根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数.

(3)定理法:函数y=f(x)的图象在区间[a,b]上是一条连续不断的曲线,由f(a)f(b)0即可判断函数y=f(x)在区间(a,b)上至少有一个零点.若函数y=f(x)在区间(a,b)上是单调函数,则函数f(x)在区间(a,b)上只有一个零点.

跟踪训练1已知函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,求实数b的取值范围.

解由f(x)=|2x-2|-b=0,得|2x-2|=b.

在同一平面直角坐标系中分别画出y=|2x-2|与y=b的图象,如图所示,

函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,即两函数图象有两个交点,所以0b2,即实数b的取值范围为(0,2).

二、二分法

1.函数的零点就是对应方程的解,所以二分法不仅可以求函数的零点,也可以求方程的近似解.

2.用二分法求方程的近似解,首先要选好计算的初始区间,这个区间既要包含所求的根,又要使其长度尽量小,其次要依据给定的精确度,及时检验所得区间端点的近似值是否达到要求(达到给定的精确度),以决定是停止计算还是继续计算.

3.二分法求函数的零点或方程的近似解是对零点存在定理的应用,同时提升了逻辑推理与数学运算的核心素养.

例2求方程lgx=2-x的近似解(精确到0.1).

解在同一平面直角坐标系中,作出y=lgx,y=2-x的图象,如图所示,

可以发现方程lgx=2-x有唯一解,记为x0,并且解在区间(1,2)内.

设f(x)=lgx+x-2,

则f(x)的零点为x0.

用计算器计算,得f(1)0,

f(2)0?x0∈(1,2);

f(1.5)0,f(2)0?x0∈(1.5,2);

f(1.75)0,f(2)0?x0∈(1.75,2);

f(1.75)0,f(1.875)0?x0∈(1.75,1.875);

f(1.75)0,f(1.8125)0?x0∈(1.75,1.8125).

因为1.75与1.8125的近似值都为1.8.

所以方程的近似解(精确到0.1)为1.8.

反思感悟用二分法求方程近似解的关注点

(1)理论依据:函数零点存在定理.

(2)方法:构造函数,通过求函数零点近似值解决.

(3)表示:借助表格或数轴表示,会使求解过程显得更清晰.

(4)注意:要随时检验有根区间(a,b)的端点值,在精确到同一数位下的近似值是否相等.

跟踪训练2判断方程2x3-4x2-3x+3=0在[0,1]内是否有解,若有,则利用二分法求出该方程在[0,1]内的一个近似解.(精确到0.1)

解设f(x)=2x3-4x2-3x+3,且零点为x0.

∵f(0)=30,f(1)=-20,

∴原方程在[0,1]内有解.

取[0,1]的中点0.5,且f(0.5)=0.750,

∴x0∈[0.5,1].取[0.5,1]的中点0.75,

且f(0.75)≈-0.6560,∴x0∈[0.5,0.75].

取[0.5,0.75]的中点0.625,

且f(0.625)≈0.050,∴x0∈[0.625,0.75].

取[0.625,0.75]的中点0.6875,

且f(0.6875)≈-0.30.

∴x0∈[0.625,0.6875],

同理x0∈[0.625,0.65625],

x0∈[0.625,0.640625].

由于0.625与0.640625精确到0.1的近似值都是0.6,∴原方程的近似解(精确到0.1)为0.6.

三、函数模型的应用

1.根据实际问题提供的两个变量的数量关系可构建和选择正确的函数模型.同时,要注意