2025年上海市数学高考一轮复习重难点 专题03函数的概念与性质(讲义+一轮复习知识)含详解.docx

专题03函数的概念与性质(讲义+一轮复习知识扫描练)

一、函数的概念

1.函数的定义

设A,B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域.显然，值域是集合B的子集.

2.函数的构成要素

函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域.三者缺一不可，其中对应关系是核心，定义域是根本，当定义域和对应关系确定了，值域也就确定了.

二、函数的定义域

1.函数的定义域是自变量x的取值集合，它是函数的重要组成部分.

2.求函数定义域的注意事项

(1)分式的分母不为0;

(2)偶次根式的被开方数大于等于0;

(3)零次幂的底数不为0;

(4)实际问题中自变量的范围；

(5)多个式子构成的函数，其定义域要满足每个式子都有意义.

三、函数的值域

1.函数的值域是在对应关系f的作用下，自变量x在定义域内取值时相应的函数值组成的集合

四、同一个函数

如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数.

温馨提示：当一个函数的对应关系和定义域确定后，其值域就随之确定，所以两个函数当且仅当定义城和对应关系相同时，才为同一函数.换言之，(1)定义域不同，两函数不同；(2)值域不同，两函数不同；(3)对应关系不同，两函数不同，即使定义域和值城分别相同的两个函数，也不一定是同一函数，如y=5x与它们的定义域和值域都是实数集R,但不是同一个函数.

五、函数的表示法

1.解析法

用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.

2.图象法

用图象表示两个变量之间的对应关系，

3.列表法

列出表格来表示两个变量之间的对应关系.

温馨提示：

(1)解析法必须注明函数的定义域；

(2)列表法必须罗列出所有的自变量的值与函数值的对应关系；(3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”,

六、复合函数

如果函数y=f(t)的定义域为A,函数t=g(x)的定义域为B,值域为C,则当C≤A时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在B的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数.

温馨提示：

1.内层函数的值域是外层函数的定义域或定义域的子集.

2.函数f(g(x))的定义域是指x的取值范围，而不是g(x)的取值范围.

七、分段函数

在函数y=f(x)的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数通常称为分段函数

八、函数的单调性

1.增函数

一般地，设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x?,xz,当x?x?时，都有f(x?)≤f(x?),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.

2.减函数

一般地，设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x?,xz,当x?x?时，都有f(x?)≥f(x?),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.

小结：对任意的x?,x?∈D,且x?≠x?有：

（2）(x?-x?)[f(x?)-f(x?)]≥0=f(x)在D上是增函数；

(x?-x?)[f(x?)-f(x?)]≤0?f(x)在D上是减函数.

九、单调区间

如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，

区间D叫做y=f(x)的单调区间.

温馨提示：

1.函数的单调性是针对定义城内某段区间而言的.

2.函数单调性定义中的x?,xg有三个特征：①任意性；②有大小；③同属一个单调区间，三者缺一不可.

3.求函数的单调区间，应先求其定义域.

十、单调函数的运算性质

1.函数f(x)与f(x)+c(c为常数)具有相同的单调性.

2.当a0时，f(x)与a·f(x)的单调性相同，当a0时，f(x)与a·f(x)的单调性相反.

3.当f(x)恒为正值或恒为负值时，f(x)与的单调性相反.

4.当f(x),g(x)同为增(减)函数时，f(x)+g(x)是增(减)函数.

5.当f(x),g(x)同为增(减)函数时，若两者都恒大于零，则f(x)·g(x)也是增(减)函数；若两者都小于零，则f(x)·g(x)是减(增)函数.

十一、复合函数的单调性

复合函数y=f(g(x)),在其定义域内单调性满足：

f(x)

g(x)

f(g(x)

增函数

增函数

增函数

增函数

减函数

减函数

减函数

增函数

减函数

减函数

减函数