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第八章空间问题

空间问题第八章空间问题§8-4空间球对称问题§8-3空间轴对称问题§8-2直角坐标下的基本方程§8-1概述1

本章首先给出空间问题直角坐标下的平衡方程、几何方程和物理方程。针对空间问题的解析解一般只能在特殊边界条件下才可以得到，我们着重讨论空间轴对称问题和空间球对称问题。§8-1概述球对称问题轴对称问题空间问题xzyxzyP2

§8-2直角坐标下的基本方程空间问题一平衡微分方程在物体内任意一点P，取图示微小平行六面体。微小平行六面体各面上的应力分量如图所示。若以连接六面体前后两面中心的直线为ab，则由得化简并略去高阶微量，得3

空间问题同理可得这只是又一次证明了剪应力的互等关系。由立出方程，经约简后得这就是空间直角坐标下的平衡微分方程。二几何方程在空间问题中，形变分量与位移分量应当满足下列6个几何方程其中的第一式、第二式和第六式已在平面问题中导出，其余三式可用相同的方法导出。4

空间问题三物理方程对于各向同性体，形变分量与应力分量之间的关系如下：这就是空间问题的物理方程。将应力分量用应变分量表示，物理方程又可表示为：其中：5

空间问题四相容方程6将几何方程第二式左边对z的二阶导数与第三式左边对y的二阶导数相加，得将几何方程第四式代入，得（a）同理（b）

空间问题7将几何方程中的后三式分别对x、y、z求导，得并由此而得

空间问题8同理（d）方程(a)、(b)、(c)、(d)称为变形协调条件，也称相容方程。将物理方程代入上述相容方程，并利用平衡微分方程简化后，得用应力分量表示的相容方程：即（c）

空间问题9称其为密切尔相容方程。

空间问题在空间问题中，若弹性体的几何形状、约束情况以及所受的外来因素，都对称于某一轴（通过这个轴的任一平面都是对称面），则所有的应力、形变和位移也对称于这一轴。这种问题称为空间轴对称问题。根据轴对称的特点，应采用圆柱坐标表示。若取对称轴为z轴，则轴对称问题的应力分量、形变分量和位移分量都将只是r和z的函数，而与坐标无关。轴对称问题的弹性体的形状一般为圆柱体或半空间体。§8-3空间轴对称问题10

空间问题一平衡微分方程取图示微元体。由于轴对称，在微元体的两个圆柱面上，只有正应力和的轴向剪应力；在两个水平面上只有正应力和径向剪应力；在两个垂直面上只有环向正应力，图示。根据连续性假设，微元体的正面相对负面其应力分量都有微小增量。注意：此时环向正应力的增量为零。由径向和轴向平衡，并利用，经约简并略去高阶微量，得：11

空间问题这就是轴对称问题的柱坐标平衡微分方程。二几何方程通过与平面问题及极坐标中同样的分析，可见，由径向位移引起的形变分量为：由轴向位移引起的形变分量为：由叠加原理，即得空间轴对称问题的几何方程：12

空间问题三物理方程由于圆柱坐标，是和直角坐标一样的正交坐标，所以可直接根据虎克定律得物理方程：应力分量用形变分量表示的物理方程：其中：13

空间问题四轴对称问题的求解将几何方程代入应力分量用应变分量表示的物理方程，得弹性方程：其中：再将弹性方程代入平衡微分方程，并记：得到这就是按位移求解空间轴对称问题所需要的基本微分方程。显然，上述基本微分方程中的位移分量是坐标r、z的函数，不可能直接求解，为此介绍下列方法：14

空间问题五位移势函数为简单起见，不计体力。位移分量的基本微分方程简化为：现在假设位移是有势的，把位移分量用位移势函数表示为：从而有代入不计体力的基本微分方程，得即15

空间问题取，则。即为调和函数，由位移势函数求应力分量的表达式为：这样，对于一个轴对称问题，如果找到适当的调和函数，使得由此给出的位移分量和应力分量能够满足边界条件，就得到该问题的正确解答。为求解轴对称问题，拉甫引用一个位移函数注：并不是所有问题中的位移函数都是有势的。若位移势函数有势，则体积应变。六