第2章　§2.1　第2课时　圆的一般方程.docx

第2课时圆的一般方程

[学习目标]1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的坐标和半径的大小．(重点)3.能用圆的一般方程解决一些实际应用问题．

导语

前面我们已经讨论了圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，现将其展开可得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0.可见，任何一个圆的方程都可以变形为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式．请大家思考一下，形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程表示的曲线是不是圆？下面我们来探讨这一方面的问题．

一、圆的一般方程的理解

问题1如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0能表示圆的方程，有什么条件？

提示将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(D,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(E,2)))2＝eq\f(D2＋E2－4F,4)，当D2＋E2－4F0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆．

问题2当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么图形？

提示当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2))).

知识梳理

1．圆的一般方程的概念

方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)叫作圆的一般方程．

2．圆的一般方程对应的圆心和半径

圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径长为eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F).

注意点：

(1)二元二次方程要想表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项．

(2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F0.

(3)当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2))).

当D2＋E2－4F0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形．

例1若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆．

(1)求实数m的取值范围；

(2)写出圆心坐标和半径．

解(1)由表示圆的充要条件，

得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)0，

解得meq\f(1,5)，即实数m的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,5))).

(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝eq\r(1－5m).

延伸探究若原点在圆C：x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0外，求实数m的取值范围．

解由已知得m2＋5m0，

得m0或m－5，

又由例题知meq\f(1,5)，

所以0meq\f(1,5).

反思感悟圆的一般方程的辨析

(1)由圆的一般方程的定义，在x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0中，若D2＋E2－4F0成立，则表示圆，否则不表示圆．

(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解．

(3)若点(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0上(内、外)，则xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F＝0(0、0)．

跟踪训练1(1)若方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆，则圆心坐标和半径分别为________________．

答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，\f(a,2)))，eq\f(\r(2)|a|,2)

解析方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)，

可化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(a,2)))2＝eq\f(a2,2)，

故圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，\f(a,2)))，半径为eq\f(\r(2)|a|,2).

(2)若点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为________．

答案9π

解析圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的圆心坐标是eq\b\lc\(\rc\