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矩阵论方保镕第二版

1.前言

矩阵论是一门非常重要的数学分支，它的应用范围非常广

泛。矩阵论的研究对象是矩阵，矩阵是由数字或变量按矩形排

列而成的一种数据结构。本文档是《矩阵论方保镕第二版》

的概述，对于矩阵论的基本概念、原理和应用进行了介绍。

2.矩阵的定义与基本运算

2.1矩阵的定义

矩阵是由m行n列元素排列成矩形形式的数组。我们用大

写字母表示矩阵，如A，B，C等，而元素通常用小写字母表

示，如a，b，c等。矩阵A的元素可以表示为aij，其中i表

示行数，j表示列数。

2.2矩阵的基本运算

矩阵有许多基本的运算，包括加法、减法、数乘和矩阵乘

法。矩阵之间的加法和减法只能在维度相同的矩阵之间进行。

数乘是指将矩阵的每个元素与一个标量相乘。矩阵乘法是指将

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两个矩阵相乘得到一个新的矩阵，其中第一个矩阵的列数必须

等于第二个矩阵的行数。

3.矩阵的性质与运算规则

矩阵具有许多性质和运算规则，这些性质和规则对于矩阵

的运算和应用非常重要。

3.1矩阵的转置

矩阵的转置是指将矩阵的行和列进行交换得到的新矩阵。

转置后的矩阵表示为AT，其中A为原矩阵。转置矩阵的性质

包括：(1)(AT)T=A；(2)(A+B)T=AT+BT；(3)(cA)T=cAT。

3.2矩阵的逆

矩阵的逆是指如果矩阵A乘以它的逆矩阵得到单位矩阵，

则称A为可逆矩阵。可逆矩阵的逆矩阵表示为A-1，其中A

为原矩阵。可逆矩阵具有以下性质：(1)(A-1)-1=A；(2)(AB)-

1=B-1A-1；(3)(cA)-1=c-1A-1。需要注意的是，并不是所有的

矩阵都有逆矩阵。

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3.3矩阵的行列式

矩阵的行列式是一个标量，用于判断一个矩阵是否可逆。

行列式的计算方法比较复杂，我们在这里只给出基本的计算公

式：对于2阶矩阵A=[a11a12;a21a22]，它的行列式为

|A|=a11a22-a12a21。对于n阶矩阵，行列式的计算方法类似。

4.矩阵的应用领域

矩阵论在许多领域都有广泛的应用，例如工程、计算机科

学、经济学等。下面我们以几个典型的应用领域为例进行介绍。

4.1图像处理

图像处理是一门研究如何对图像进行处理和分析的学科，

矩阵在图像处理中有着重要的应用。例如，我们可以用矩阵来

表示图像，并通过矩阵运算来实现图像的处理，如图像的平移、

旋转、缩放等操作。

4.2机器学习

机器学习是人工智能的一个重要分支，矩阵论在机器学习

中起着重要的作用。例如，在深度学习中，神经网络的计算过

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程可以用矩阵乘法和非线性函数来描述。另外，矩阵的特征值

和特征向量在机器学习中也有重要的应用。

4.3量子力学

量子力学是研究微观粒子行为的物理学科，矩阵论在量子

力学中有着广泛的应用。例如，波函数的描述可以用矩阵来表

示，观测量的算符也可以用矩阵来表示。

5.总结

本文档对《矩阵论方保镕第二版》进行了概述，介绍了矩

阵的定义和基本运算，矩阵的性质和运算规则，以及矩阵在图

像处理、机器学习和量子力学等领域的应用。矩阵论是一个重

要的数学分支，它不仅具有理论研究的价值，还在实际应用中

发挥着重要的作用。读者可以通过本文档了解矩阵论的基本概

念和应用，进一步深入学习和研究。

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