五年级奥数 五个几何模型.docx

直线形面积计算的五个模型

知识点精讲

一、 等积变换模型

等底等高的两个三角形面积相等；

AB为公共边，所以s:

AB为公共边，所以

s

:s

?h:h

?ABC?

?ABC

?ABD

2 1

h为公共的高，所以 s:s ?BD:DC

两个三角形面积的比等于这两个三角形底与各自对应高的乘积的比。

底和高均不同，所以s:s?

底和高均不同，所以s

:s

??BD?h?:(DC?h)

比如：两个三角形的底的比是5:3，与各自底对应的高的比是7:6，

那么他们的面积的比是（5×7）：（3×6）二、 鸟头模型（共角模型）

两个三角形中有一个角相等或者互补，这两个三角形叫做共角三角形。

?DAC

?DAC和?BAC互补，所以s

:s

?DA?AC:BA?AC

?DAC?BAC?A

?DAC

?BAC

?A为公共角，所以s

:s

?DA?AE:BA?AC

推理过程：连接BE，运用等积变换模型证明。

三、 蝴蝶定理模型

任意四边形中的比例关系（蝴蝶定理）

s:s ?s:s

或者s?s

?s?s

：?：+）AO:OC?1s2s

：

?

：

+

）

4ss3

? s1s 3

4s 2s

（+）：（1 4 2 3 1 2 4 3

（

+

）：（

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，

一方面可以是不规则四边形的面积关系与四边形内三角形相联系；另一方面也可以得到与面积对应的对角线被分割的两段之间的比例关系。

梯形中比例关系（梯形蝴蝶定理）

s：s ?a2:b

s：s ?a2:b2

：

：

?a2

:b2：ab：ab

（金字塔模型）（沙漏模型）四、 相似模型相似三角形性质

（金字塔模型）

（沙漏模型）

1 3 2 4

整个梯形对应的面积份数为：(a+b)2

下面的比例关系适用如上两种模型：

AD AE DE AF

1、AB?

AC?

BC?AG

2、s :s ?AF2:AG2

?ADE ?ABC

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变，他们都是相似的），与相似三角形相关的常用的性质以及定理如下：

相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于他们的相似比；

相似三角形的面积比等于他们的相似比的平方。

五、 燕尾定理

s

?ABG

s

?BGA

s

?AGC

:s

?ACG

:s

?BGC

:s

?BGC

?s

?BGE

?s

?GAF

?s

?AGD

:s

?CGE

:s

?GCF

:s

?BGD

?BE:CE

?AF:CF

?AD:BD

课堂例题与练习

等积变换模型部分：

如下图,BC=3BE,AC=4CD．那么,三角形AED的面积是6，那么三角形ABC 面积的是多少

如下图，四边形ABCD是直角梯形。其中AD=12（厘米），AB=8（厘米），BC=15（厘米），

并且三角形ADE、四边形DEBF、三角形CDF的面积相等，请问阴影三角形DEF的面积是多少？

如下图，在三角形ABC中，BC是DC的3倍，AC是EC的3倍．三角形DEC的面积是3平方厘米．请问：三角形ABC的面积是多少平方厘米？

如下图，E是BC上靠近C的三等分点，且ED是AD的2倍．三角形ABC的面积是36

平方厘米三角形BDE的面积是多少平方厘米？

如下图所示，已知三角形BEC的面积等于20平方厘米，E是AB边上靠近B点的四等分点．三角形AED的面积是多少平方厘米？

如下图所示，已知平行四边形ABCD的面积为36，三角形AOD的面积为8．三角形BOC的面积为多少？

如下图,正方形ABCD的边长为12,P是边AB上的任意一点,M、N、I、H分别是边

BC、AD上的三等分点,E、F、G是边CD上的四等分点,图中阴影部分的面积是多少

鸟头模型部分：

如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，且AD:AB?2:5，AE:AC?4:7，S△ADE?16平方厘米，求△ABC的面积．

A

DEB

D

E

如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那么三角形ABC的面积是多少？

A

DEB

D

E

如图在△ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB: