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大学数学期末复习专题：微积分问题经典

例题解析

微积分作为数学的一个重要分支，是大学数学课程中的核心内

容之一。在期末复中，重点理解和掌握微积分的经典例题是非常重

要的。本文将对一些微积分经典例题进行解析，帮助同学们加深对

这些题目的理解。

1.定积分问题

例题1：

已知函数$f(x)=2x^3-3x^2+1$，求$f(x)$在区间$[0.2]$上

的定积分。

解析

通过积分的定义，我们可以得到：

int_0^2f(x)dx=F(2)-F(0)$$

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其中$F(x)$是函数$f(x)$的原函数。根据函数的求导规则，求

得$F(x)$的表达式为：

F(x)=

rac{1}{2}x^4-x^3+x+C$$

将$x$的取值代入$F(x)$中，我们可得：

F(2)-F(0)=(4-8+2+C)-(0-0+0+C)=-2$$

所以，函数$f(x)$在区间$[0.2]$上的定积分为$-2$。

例题2：

已知函数，求$f(x)$在区间$[0.3]$上的定

积分。

解析

首先，我们可以直接计算函数$f(x)$的原函数$F(x)$如下：

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F(x)=

rac{2}{3}(x+1)^{

rac{3}{2}}+C$$

将$x$的取值代入$F(x)$，可得：

F(3)-F(0)=

rac{2}{3}(4^{

rac{3}{2}}-1)$$

经过计算，得出定积分的值为

$

rac{2}{3}(4^{

rac{3}{2}}-1)$。

2.导数和极值问题

例题3：

已知函数$f(x)=x^3-6x^2+9x+2$，求函数$f(x)$的极值点

和极值。

解析

首先，我们需要求函数$f(x)$的导数$f(x)$：

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f(x)=3x^2-12x+9$$

令$f(x)=0$，可以解得$x=1$和$x=3$。我们将这两个解

带回原函数$f(x)$中，可得：

f(1)=6$$

f(3)=14$$

所以，函数$f(x)$的极值点为$x=1$和$x=3$，对应的极值

分别为$6$和$14$。

例题4：

已知函数$f(x)=e^x-x^2$，求函数$f(x)$的最大值和最小值。

解析

首先，我们需要求函数$f(x)$的导数$f(x)$：

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f(x)=e^x-2x$$

令$f(x)=0$，可以解得$x=

rac{1}{2}$。我们将这个解带回

原