六节高数下册课件.pptxVIP

1方向导数概念与计算公式梯度概念与计算小结作业directionalderivativeandgradient第六节方向导数与梯度数量场与向量场的概念第七章多元函数微分法及其应用

21.方向导数的定义设有二元函数沿任何方向的变化率．考虑函数在某点射线是指有方向的半直线,即一、方向导数概念与计算公式方向导数与梯度

3定义如果极限存在,则将这个极限值称为函数在点记为即注方向导数是函数沿半直线方向的变化率.方向导数与梯度

4ρ一定为正!是函数在某点沿任何方向的变化率.方向导数偏导数分别是函数在某点沿平行于坐标轴的直线Δx、Δy可正可负！的变化率.注方向导数与梯度

5事实上,的方向导数存在,事实上,同理,的方向导数存在,方向导数与梯度存在时,

6????方向导数与梯度问:反之,存在时,是否一定存在?

7方向导数与梯度例如,函数沿方向的方向导数但不存在.即z在(0,0)点的偏导数不存在.

8证由于函数可微,得到3.关于方向导数的存在及计算公式充分条件定理可微,则函数且则增量可表示为两边同除以方向导数与梯度

9故有方向导数方向导数与梯度

10注即为(1)(2)计算方向导数只需知道l的方向及函数的偏导数.方向导数与梯度在定点的方向导数为(3)(4)关系方向导数存在偏导数存在可微

11例考虑函数定点P0(3,1),P1(2,3).求函数在P0沿方向的方向导数.解方向导数与梯度

12解由方向导数的计算公式知(1)最大值;(2)最小值;(3)等于零?并问在怎样的方向上此方向导数有例方向导数与梯度

13故方向导数达到最大值方向导数达到最小值方向导数等于和(1)最大值;(2)最小值;(3)等于零?问在怎样的方向上此方向导数有方向导数与梯度

14推广可得三元函数方向导数的定义对于三元函数它在空间一点的方向导数,可定义为方向导数与梯度同理,当函数在此点可微时,那末函数在该点沿任意方向l的方向导数都存在,且有是l的方向向量.

15解令故其方向余弦为研究生考题,计算,5分例方向导数与梯度

16故方向导数与梯度

17问题?方向导数与梯度二、梯度概念与计算已知方向导数公式方向：模：方向一致时,方向导数取最大值f变化率最大的方向f的最大变化率之值函数沿什么方向的方向导数为最大(gradient)一个二元函数在给定的点处沿不同方向的方向导数是不一样的.

18方向导数与梯度定义记作即为函数称向量梯度(gradient),设函数可偏导,利用梯度的概念,可将方向导数计算公式写成

19结论函数在某点的梯度是这样一个向量,方向与取得最大方向导数的方向一致,它的而它的模为方向导数的最大值.梯度的模为方向导数与梯度

20在几何上曲面被平面所得曲线在xOy面上投影是一条平面曲线等值线梯度为等值线上的法向量表示一个曲面,所截得方向导数与梯度如图:

21法线的斜率为:为等值线上点P处的法向量.所以梯度事实上,由于等值线上任一点方向导数与梯度等值线

22类似于二元函数,此梯度也是一个向量,其方向与取得最大方向导数的方向一致,其模为方向导数的最大值.梯度的概念可以推广到三元函数三元函数在空间区域G内则对于每一点都可定义一个向量(梯度)具有一阶连续偏导数,方向导数与梯度

23类似地,设曲面为函数此函数在点的梯度的方向与过点P的等量面在这点的法线的一个方向相同,的等量面指向数值较高的等量面,等于函数在这个法线方向的方向导数.且从数值较低而梯度的模方向导数与梯度

24解故例并问在哪些点处梯度为零?=0=0=0方向导数与梯度处的梯度,

25方向导数与梯度例设函数(1)求出沿什么方向具有最大的增长率,方向的变化率.(2)最大增长率为多少?解(1)PQ方向的方向向量为

26方向导数与梯度沿什么方向具有最大的增长率,(2)最大增长率为多少?解方向具有最大的增长率,最大的增长率为:即为梯度方向.

27方向导数的概念梯度的概念方向导数与梯度的关系(注意方向导数是数、方向导数与一般所说偏导数的区别)(注意梯度是一个向量)梯度的方向就是函数在这点增长最快的方向.方向导数与梯度三、小结数量场与向量场的概念

28作业习题7-6(50页)方向导数与梯度