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高级中学名校试卷
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湖南省张家界市2023-2024学年高二下学期
期末考试数学试题
一?单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.样本数据的中位数是()
A.5 B.5.5 C.6 D.7
〖答案〗A
〖解析〗将从小到大排列为:,
这9个数的中位数为5.
故选:A.
2.已知集合,,则()
A. B.
C. D.
〖答案〗D
〖解析〗由不等式,
得,解得,
所以,
又,
所以,
故选:D.
3.已知圆柱的轴截面为正方形,表面积为,则其体积为()
A. B. C. D.
〖答案〗A
〖解析〗由已知可设圆柱底面半径为,
由圆柱的轴截面为正方形可知圆柱的高,
所以圆柱的表面积,
所以,
则体积,
故选:A.
4.已知函数,则“在上单调递增”的充要条件是()
A. B.
C. D.
〖答案〗B
〖解析〗“在上单调递增”当且仅当,即当且仅当,
换言之,“在上单调递增”的充要条件是.
故选:B.
5.在中,,为线段的中点,若,则的值为()
A. B. C. D.
〖答案〗C
〖解析〗由已知,则,
又为线段的中点,
所以,
所以,
即,,
所以,
故选:C.
6.已知在中,,,且的面积为,则()
A. B. C. D.
〖答案〗D
〖解析〗由已知的面积,
则,
又,且,
所以,,
由余弦定理可得,
即,
故选:D.
7.已知,,,则()
A. B.
C. D.
〖答案〗B
〖解析〗由,
又,且,
所以,
又,
所以,故选:B.
8.若当时,函数与的图象有且仅有4个交点,则的取值范围是()
A. B.
C. D.
〖答案〗C
〖解析〗如图所示,画出在的图象,
也画出的草图,
函数与的图象有且仅有4个交点,
则将的第4个,第5个与x轴交点向处移动即可.
满足,解得.
故选:C.
二?多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分,有选错的得0分.
9.已知复数满足,则()
A.
B.
C.在复平面内对应的点位于第四象限
D.是纯虚数
〖答案〗BCD
〖解析〗由,得,
设,则,
所以,
所以,解得,
即,A选项错误;
则,B选项正确;
且复数在复平面内对应的点坐标为,在第四象限,C选项正确;
为纯虚数,D选项正确;
故选:BCD.
10.已知函数,则下列结论正确的是()
A.的最大值与最小值之差为1
B.在区间上单调递增
C.的图象关于点中心对称
D.若将的图象向左平移个单位长度得到的图象,则是偶函数
〖答案〗AD
〖解析〗
.
则函数,,之差为,则A正确.
,则区间上有增有减,则B错误.
将代入〖解析〗式得,,则不是对称中心,则C错误.
将的图象向左平移个单位长度得到.
则,则是偶函数,则D正确.
故选:AD
11.已知三棱柱的底面是正三角形,是棱的中点,,,,是棱上的动点,,是棱上的动点,且,则()
A.平面
B.
C.该三棱柱的外接球的体积为
D.三棱锥的体积恒为
〖答案〗ABD
〖解析〗如图所示,
由已知三棱柱的底面是正三角形,,且是棱的中点,
则,
又,,
,,
又,且,平面,
平面,故A选项正确;
又平面,所以,
又由正三角形可知,,,平面,
则平面,
又平面,
所以,B选项正确;
所以该三棱柱为正三棱柱,则其外接球球心为中点,
又,则,,
所以,
外接球体积,C选项错误;
又正三棱柱可知平面,即平面,
所以到平面的距离,
且,
所以三棱锥体积,D选项正确;
故选:ABD.
三?填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知非零向量,,若,则实数__________.
〖答案〗
〖解析〗由已知,,
则,
又,
所以,
又,即
所以,
故〖答案〗为:.
13.袋子中装有6个质地?大小均相同的球,其中有3个红球?2个绿球和1个蓝球,若从袋子中随机一次取出2个球,则取出的2个球颜色不同的概率为__________.
〖答案〗
〖解析〗设3个红球分别为:,2个绿球分别为:,一个蓝球为:,
则从袋子中随机一次取出2个球,样本空间为:
,共15个基本事件;
事件“取出的2个球颜色不同”包含的基本事件有:
,共11个基本事件;
故所求概率为:.
故〖答案〗为:.
14.记为,,中最小的数.已知,且,则的最大值为__________.
〖答案〗
〖解析〗设t=min{y-x,z-y,1-z},
则t≤y
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