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高级中学名校试卷
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黑龙江省哈尔滨市六校2023-2024学年高一下学期期末联考
数学试卷
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若复数,则()
A B.10 C. D.20
〖答案〗A
〖解析〗.
故选:A.
2.设A,B是直线l上两点,则“A,B到平面a的距离相等”是“”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
〖答案〗B
〖解析〗若,则A,B两点到平面的距离相等,
但反之不成立,因为当,分别在平面a的两侧,
且满足,到平面的距离相等时,直线l与平面相交.
故选:B.
3.已知一组数据:55,64,92,76,88,67,76,90,则这组数据的第百分位数是()
A.90 B.88 C.82 D.76
〖答案〗A
〖解析〗将数据从小到大排列:55,64,67,76,76,88,90,92,
又,所以这组数据的第百分位数是.
故选:A.
4.在中,角的对边分别为,若,则()
A. B.
C. D.
〖答案〗C
〖解析〗由余弦定理得,
因为,所以.
故选:C.
5.已知非零向量满足,且向量在向量上的投影向量为,则与的夹角为()
A. B. C. D.
〖答案〗C
〖解析〗因为,且,所以,即夹角为.
故选:C.
6.已知某正六棱柱的所有棱长均为2,则该正六棱柱的外接球的表面积为()
A. B. C. D.
〖答案〗D
〖解析〗由正六棱柱的性质可得为其外接球的球心(如图),,
由于底面为正六边形,所以为等边三角形,故,
所以,
所以为外接球的半径,故外接球表面积为.
故选:D.
7.用2,3,4这3个数组成没有重复数字的三位数,则事件“这个三位数是偶数”发生的概率为()
A. B. C. D.
〖答案〗C
〖解析〗将2,3,4组成一个没有重复数字的三位数的情况有,
共6种,其中偶数有,共4种,
所以事件“这个三位数是偶数”发生的概率为.
故选:C.
8.在中,内角的对边分别为,且,则的最大值是()
A. B. C. D.
〖答案〗D
〖解析〗因为,
由正弦定理得,所以,
所以,
由余弦定理得
,
当且仅当,即时,等号成立,所以,
所以当时,取得最大值,
此时,
所以的最大值是.
故选:D.
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知是虚数单位,则下列说法正确的是()
A.
B.复数的虚部为5
C.若复数满足,则
D.若复数满足,则的最大值为3
〖答案〗AD
〖解析〗对于A,,故A正确;
对于B,复数的虚部为-5,故B错误;
对于C,设,则,而,
故C错误;
对于D,因为,所以,
所以的最大值为3,故D正确.
故选:AD.
10.在中,角的对边分别为,则下列对的个数的判断正确的是()
A.当时,有两解
B.当时,有一解
C.当时,无解
D.当时,有两解
〖答案〗AC
〖解析〗对于A,由正弦定理得,即,所以,
又因为,所以或,有两解,故A正确;
对于B,由正弦定理得,无解,故B错误;
对于C,由正弦定理得,无解,故C正确;
对于D,由正弦定理得,
又,所以为锐角,此三角形只有一解,故D错误.
故选:AC.
11.如图,在直三棱柱中,,,,是边的中点,过点A,B,D作截面交于点E,则()
A. B.平面平面
C.平面 D.点到截面的距离为
〖答案〗ABD
〖解析〗如图,
在直三棱柱中,,
平面,平面,
则有平面,平面,平面平面,
可得,故A正确;
∵是的中点,,,∴,
又,∴,∴,
则,∴,
∵,,,平面,
∴平面,
∵平面,∴,
又,平面,∴平面,
又平面,∴平面平面,故B正确;
因为,平面,所以与平面不平行,故C错误;
设与交于点,则平面,
又因为为的中点,
所以点到截面的距离等于点到截面的距离,
在中,,由等面积法可得,
所以点到截面的距离为,故D正确.
故选:ABD.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.若事件与互斥,且,则__________.
〖答案〗
〖解析〗因为事件与互斥,且,
所以.
故〖答案〗为:.
13.如图,用无人机测量一座小山的海拔与该山最高处的古塔的塔高,无人机的航线与塔在同一铅直平面内,无人机飞行的海拔高度为,在处测得塔底(即小山的最高处)的俯角为,塔顶的俯角为,向山顶方向沿水平线
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