第3章　习题课　直线与椭圆的位置关系.docx

习题课直线与椭圆的位置关系

[学习目标]1.会用弦长公式求弦长.2.能运用点差法解决中点弦问题．

导语

激光武器是一种利用激光束攻击目标的定向能武器．目前我国的高能激光武器完全有能力击毁或致盲国外的间谍卫星(在以地球球心为焦点的椭圆形轨道上运行的低空卫星)，假如有一天我们要用激光武器对付间谍卫星就需要用到我们本节课要学习的直线与圆锥曲线的位置关系的知识，因为激光是直线光而卫星轨道是椭圆，激光击毁卫星实际上是直线与椭圆的相交问题．

一、弦长公式

问题1直线与圆的相交求弦长的两种方法？

提示(1)利用半径r、弦心距d和弦长的一半构成直角三角形，结合勾股定理进行求解．

(2)斜率为k的直线l与圆C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则AB＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|(弦长公式)．

问题2直线与椭圆相交时，如何求弦长呢？

提示(1)可求出交点，利用两点间距离公式求解．

(2)可利用弦长公式求解．

知识梳理

弦长公式

设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则有AB＝eq\r(?x1－x2?2＋?y1－y2?2)

＝eq\r(?1＋k2??x1－x2?2)＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|

＝eq\r(1＋k2)eq\r(?x1＋x2?2－4x1x2)，

或AB＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))?y1－y2?2)

＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|

＝eq\r(1＋\f(1,k2))eq\r(?y1＋y2?2－4y1y2)(k为直线斜率且k≠0)．

注意点：

(1)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．

(2)不确定直线有没有斜率时，要分类讨论．

例1已知斜率为2的直线经过椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长．

解因为直线l过椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1的右焦点F1(1,0)，又直线的斜率为2，所以直线l的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.

方法一解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,5)＋\f(y2,4)＝1，,2x－y－2＝0，))

得交点A(0，－2)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，\f(4,3)))，

所以AB＝eq\r(?xA－xB?2＋?yA－yB?2)

＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(5,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2－\f(4,3)))2)

＝eq\r(\f(125,9))＝eq\f(5\r(5),3).

方法二设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,5)＋\f(y2,4)＝1，,2x－y－2＝0))

消去y得3x2－5x＝0，

因为Δ＝(－5)2＝250，

则x1＋x2＝eq\f(5,3)，x1·x2＝0.

所以AB＝eq\r(?x1－x2?2＋?y1－y2?2)

＝eq\r(?x1－x2?2?1＋k\o\al(2,AB)?)

＝eq\r(?1＋k\o\al(2,AB)?[?x1＋x2?2－4x1x2])

＝eq\r(?1＋22?\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))2－4×0)))＝eq\f(5\r(5),3).

方法三由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,5)＋\f(y2,4)＝1，,2x－y－2＝0))消去x得

3y2＋2y－8＝0，

因为Δ＝22－4×3×(－8)＝1000，

则y1＋y2＝－eq\f(2,3)，y1y2＝－eq\f(8,3)，

所以AB＝eq\r(?x1－x2?2＋?y1－y2?2)

＝eq\r(?y1－y2?2·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k\o\al(2,AB))＋1)))

＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k\o\al(2,AB))))[?y1＋y2?2－4y1y2])

＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))2－4×\b\lc\(\rc\)(\