2025年上海市数学高考一轮复习精讲精练 第11讲直线和圆的方程（10类核心考点精讲精练）含详解.docx

第11讲直线和圆的方程（10类核心考点精讲精练）

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例

考点分析

2024年春考2、11题

直线的倾斜角、圆的标准方程

2023年秋考7题

2023年春考4题

圆的一般方程

圆的一般方程

2022春考16题

2022春考7题

直线与圆的位置关系

方程组解的个数与两直线的位置关系

2021年秋考3题

2021年春考5题

圆的一般方程

两直线的夹角与到角问题

2020年秋考20题

2020年春考7题

双曲线与圆的定义和方程、性质，考查直线和圆的方程、双曲线的方程的联立，以及向量的数量积的几何意义

两条平行直线间的距离

2.备考策略

1.求直线方程的两种方法

(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式．

(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数．

2.直线方程综合问题的两大类型及解法

(1)与函数相结合的问题：一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决．

(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决．

3.判断两条直线位置关系的注意点

(1)斜率不存在的特殊情况．

(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论．

4.利用距离公式应注意的点

(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|.

(2)两条平行线间的距离公式要把两条直线方程中x，y的系数化为相等．

5.对称问题的求解策略

(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．

(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题．

6.求圆的方程的常用方法

(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．

(2)待定系数法

①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；

②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．

7.求与圆有关的轨迹问题的常用方法

(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．

(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．

(3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．

8.与圆有关的最值问题的求解方法

(1)借助几何性质求最值：形如μ＝eq\f(y－b,x－a)，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题．

(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值．

(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．

9.判断直线与圆的位置关系的常见方法

(1)几何法：利用d与r的关系判断．

(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．

(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．

10.弦长的两种求法

(1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长．

(2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2eq\r(r2－d2).

10.当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法

(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.

(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.

注意验证斜率不存在的情况．

11.(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．

(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．

知识讲解

一．直线的倾斜角

1.倾斜角的定义

（1）当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．

（2）当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.

2.直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α180°.

二．直线的斜率

1.斜率的定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即.

2.斜率的计算公式：

定义

斜率的定义式

两点式

过两点，的直线的斜率公式为

【注意】任何直线都有倾斜角，但当倾斜角等于时，直线的斜率不存在.

3.倾斜角与斜率的关系

图示

倾斜角

斜率

不存在

三．直线的平行于垂直

定义

平行

当存在时，两直线平行，则

当不存在时