苏教版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第5章 函数概念与性质 5.3 第2课时 函数的最大(小)值.ppt

第2课时函数的最大(小)值第5章

课标要求1.理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义;2.能借助函数的图象和单调性,求一些简单函数的最大(小)值;3.掌握求二次函数在闭区间上的最大(小)值的方法.

内容索引0102基础落实?必备知识全过关重难探究?能力素养全提升03学以致用?随堂检测全达标

基础落实?必备知识全过关

知识点函数最大值与最小值项目最大值最小值条件设y=f(x)的定义域为A.如果存在x0∈A,使得对于任意的x∈A,都有??结论那么称f(x0)为y=f(x)的最大值,记为?那么称f(x0)为y=f(x)的最小值,记为?几何意义f(x)图象上最高点的纵坐标f(x)图象上最低点的纵坐标f(x)≤f(x0)f(x)≥f(x0)ymax=f(x0)ymin=f(x0)

名师点睛函数最大(小)值和值域的联系与区别(1)联系:函数的最大(小)值和值域反映的都是函数的整体性质,针对的是整个定义域.(2)区别:①函数的值域一定存在,而函数的最大(小)值不一定存在;②若函数的最大(小)值存在,则最大(小)值一定是值域中的元素,例如:函数f(x)=x2对任意的x∈R,都有f(x)≥-1,但是f(x)的最小值不是-1,因为-1不在f(x)的值域内.

过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,则f(x)在区间[a,b]上的最小值是f(a),最大值是f(b).()(2)函数f(x)在区间[a,b]上的最大值一定是f(a)或f(b).()(3)增函数一定有最大(小)值.()2.若函数f(x)≤M,则M一定是函数的最大值吗?√××提示不一定,只有定义域内存在一点x0,使f(x0)=M时,M才是函数的最大值,否则不是.

重难探究?能力素养全提升

探究点一利用函数的图象求函数的最大(小)值(1)在直角坐标系内画出f(x)的图象;(2)根据函数的图象写出函数的单调区间、最大值、最小值.解(1)f(x)的图象如图所示.(2)由图可知f(x)的增区间为[-1,0],[2,5],减区间为[0,2],最大值为3,最小值为-1.

规律方法用图象法求最大(小)值的步骤

变式训练1函数y=f(x),x∈[-2,2]的图象如图所示,则函数的最大值、最小值分别为()答案C

探究点二利用函数的单调性求最大(小)值(1)判断函数在区间(-1,+∞)上的单调性,并用定义证明你的结论;(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值.解(1)f(x)在(-1,+∞)上单调递增,证明如下,任取-1x1x2,因为-1x1x2,所以x1+10,x2+10,x1-x20,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),所以f(x)在(-1,+∞)上单调递增.

(2)由(1)知f(x)在[2,4]上单调递增,规律方法函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),则f(x)在区间[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).(2)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),在区间[b,c]上单调递减(增),则f(x)在区间[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.

变式训练2求函数f(x)=x+在[1,4]上的最大值和最小值.解任取x1,x2∈[1,2],且x1x2,∵x1x2,∴x1-x20.当1≤x1x2≤2时,x1x20,1x1x24,即x1x2-40.∴f(x1)f(x2),即f(x)在区间[1,2]上单调递减.同理f(x)在[2,4]上单调递增.∴当x=2时,f(x)取得最小值4;当x=1或x=4时,f(x)取得最大值5.

探究点三二次函数的最大(小)值问题【例3】已知函数f(x)=x2-ax+1,求f(x)在[0,1]上的最大值.综上,当a≤1时,f(x)在[0,1]上的最大值为2-a;当a1时,f(x)在[0,1]上的最大值为1.

规律方法二次函数“轴动区间定”问题的求解策略“轴动区间定”型的问题,对于对称轴的位置变化情况必须进行分类讨论,其分类标准为对称轴与x轴交点横坐标在给定区间内变化;对称轴与x轴交点横坐标在给定区间外变化.若对称轴与x轴交点横坐标只能在给定区间内变化,则只需考虑其与端点的距离.

变式探究在本例条件不变的情况下,求f(x)在[0,1]上的最小值.

综上,当a≤0时,f(x)在[0,1]上的最小值为1;当0a2时,f(x)在[0,1]上的最小值为1-;当a≥2时,f(x)在[0,1]上的最小值为2-a.

变式训练3求函数y=x2